2021北京朝阳高三（上）期中数学2021.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合，则A.B.C.D.2.下列各组向量中，可以作为基底的是A.B.C.D.3.设，则“”是“复数为纯虚数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点重合，始边均与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则A.B.C.D.
5.若函数为奇函数，则实数A.B.C.D.6.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”后人称为“赵爽弦图”。他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识。“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则A.B.C.D.7.已知函数，若存在，使函数恰有三个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.8.如图，在直角梯形中，是线段上的动点，则的最小值为A.B.C.D.9.鲜花店鲜花的售价随进价的变化而变化。已知某鲜花店鲜花在第一天的进价为4元/枝，售价为10元/枝,并规定从第二天起，该鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌幅的。注:，
每枝花的当日差价=当日售价-当日进价.鲜花进价与售价表第一天第二天第三天第四天第五天进价（元/枝）489.64.86.72售价（元/枝）101516.5以下结论正确的是A.B.C.这5天内鲜花第二天的当日差价最大D.这5天内鲜花第一天的当日差价最小10.对任意非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下：设，其中，则的“绝对交错和”为；当时，的“绝对交错和”为，若数集，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.函数的定义域是.12.设等比数列的前项和为，公比为，若，则，13.能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组的值是.14.北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(
如图所示)，要求上下各空0.25m，左右各空0.25m，相邻宣传栏之间也空0.25m.设三个宣传栏的面积之和为(单位:),则的最大值为_15.已知函数.给出下列四个结论：①的最小正周期为.②在区间上单调递减.③的最大值为1.④当时，取得极值.以上正确结论的序号是.（写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16.（本小题13分）在中，角的对边分别为.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求边上的高.
17.（本小题13分）已知数列的前项和为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求数列的通项公式；（Ⅲ）设，求.18.（本小题14分）已知函数.在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，求：（Ⅰ）函数的解析式；（Ⅱ）函数的单调递增区间.条件①:的最大值为1；条件②:的一条对称轴是直线；条件③:的相邻两条对称轴之间的距离为.19.（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，求证：函数在区间上有且仅有一个零点.
20.（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当，求证：；（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值.21（本小题满分15分）对任意正整数，各项均不相同的数列满足下列性质：①，当时，，其中是小于且与的最大公约数是1的正整数的个数；②；③对任意均为正整数且；④对任意，其中，表示不超过的最大整数，如.例如
（Ⅰ）对任意求证；（Ⅱ）写出及数列；（Ⅲ）求的值.
2021北京朝阳高三（上）期中数学参考答案一、选择题：（本题满分40分）题号12345678910答案ABCBDACBDD二、填空题：（本题满分25分）题号1112131415答案答案不唯一如.①③④三、解答题：（本题满分85分）16.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）在中，由，得.由正弦定理,所以.由余弦定理，所以，.解得，（舍）.所以.……………………8分
（Ⅱ）方法1：在中，边上的高为.方法2：=，又，所以.………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）令，，所以.令，，所以.…………………………4分（Ⅱ）令，,解得．设数列的公差为，则，．所以．所以，.……………………8分（Ⅲ）当时，；当时，，所以．所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，．由（Ⅱ）可知，，．因为，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以,.……………………13分18.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）.若条件①已知，则，所以.当时，，则是函数的一个对称中心，这与条件②中直线是的一条对称轴矛盾.若条件③已知，则，又因为，所以.因此，选择条件①③能确定函数的解析式.所以，.则.………………8分（Ⅱ）由，得，又，所以函数的单调增区间为.………………14分19.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数的定义域为..①当时，，
当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减.②当时，.当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减.………………10分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：当时，在区间上单调递增，由于，所以函数在区间上单调递增，且，.所以函数在区间上有且仅有一个零点.………………15分20.（本小题满分15分）（Ⅰ）解：函数的定义域为.,所以.又，切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为.………………4分（Ⅱ）解：当时，.
因为，所以.设，则当时，.所以在区间上单调递增.所以当时，.即得证.所以当时，.所以在区间上单调递增.又,所以当时，.………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时,对恒成立.当时，.设,则.由于，所以.
，其中且.取.当时，，则在区间上单调递减.所以当时，即.由于当时，,所以当时，.所以在区间上单调递减.所以当时,.所以当时，并非对恒成立.综上可知，的最大值为.………………15分21.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）对任意，因为，所以.………………4分（Ⅱ）.；.………………10分（Ⅲ）因为对任意，
，所以对任意，.当时，，所以，所以所以.………………15分
