2021-2022学年上学期桂林市校本模拟考[11月]高三数学理科试卷参考答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A.B.C.D.2,3,4,5,6【答案】A2.已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（）A.1或2B.2C.1或2D.1【答案】B3.将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之积是12的概率是（）AB.C.D.【答案】C4．航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.A．B．C．D．【详解】由题意可知：，，代入可得，所以，可得，可得，即，所以，,所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，故选：A.5．在中，“”是“”的（）CA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【详解】由可构造函数则，即函数在定义域上单调递增,所以在中由可得，即，反之亦可推出，所以“”是“”的充要条件.故选：C6．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，,由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以D正确，C不正确.故选：D.7.D8．D9.C10.D11.A12.A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．14．直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.815．在一次去敬老院爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加，若将这五位同学分到三个不同的敬老院，每个敬老院至少一名同学，则共有种不同的安排方法；若除这5位同学外还有一名带队老师参加这次活动，在活动中同学比老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到。若他们说的都为实话，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为种.150，4816.，，．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．在中，已知，，.（1）求；,（2）若点D在边上，且满足，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知两边及夹角，由余弦定理即可求解；（2）由，可得，结合（1）问结论，由余弦定理可得，再利用平方关系求出，最后根据，所以利用两角差的正弦公式即可求解.解：（1）结合已知条件，由余弦定理可得.（2），，，，.18．2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机､睡眠､读物､作业､体质管理作出规定.“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生女生总计90分钟以上8018090分钟以下220总计160240400（1）求，，的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？（2）学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率.附：.0.0500.0100.001,3.8416.63510.828【答案】（1），，，没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；（2）.解（1）由可得；由可得；由可得；所以列联表如下：男生女生合计90分钟以上8010018090分钟以下80140220合计160240400，所以没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关.（2）抽取的9人中，男生：人，女生：人，男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；所以所求概率.答：略19．等差数列{an}，S11＝﹣11，公差d＝﹣3．（1）求通项公式和前n项和公式；（2）当n取何值时，前n项和最大，最大值是多少．【考点】等差数列的前n项和．版权所有【专题】计算题；方程思想；对应思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由题意知S11＝11a6＝﹣11，从而得a6＝﹣1，从而求通项公式和前n项和公式；（2）a6＝﹣1，a5＝2知当n＝5时，前n项和最大，利用前n项和公式求最值即可．解：（1）由题意知，∵S11＝11a6＝﹣11，∴a6＝﹣1，,故an＝a6+（n﹣6）d＝﹣3n+17，Sn＝na1+d＝14n﹣n（n﹣1）＝﹣n2+n；（2）由（1）知，a6＝﹣1，a5＝2＞0，故当n＝5时，前n项和最大，最大值是﹣×52+×5＝40．【点评】本题考查了等差数列的性质应用，是基础题．20.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2．线段AC的中点为O，点M为PD上的点，且MO＝AC．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求二面角B﹣AM﹣C平面角的余弦值．【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法．版权所有【专题】综合题；转化思想；向量法；数学运算．【分析】（1）利用线面、面面垂直的判定定理、性质定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，先求出平面ABM与平面AMC的法向量，进而即可求出面面角的余弦值．解：（1）证明：由题意，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，∵BM∩AB＝B，∴PD⊥平面ABM，又PD⊂平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD．（2）由（1）可知：PD⊥平面ABM，∴PD⊥AM，又在Rt△PAD，PA＝AD，∴PM＝,MD．如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），由（1）可知：是平面ABM的一个法向量，＝（0，4，﹣4），又＝（0，2，2），＝C（2，4，0），设平面AMC的一个法向量为＝（x，y，z），∴，∴，令y＝1，则z＝﹣1，x＝﹣2，∴平面AMC的一个法向量为＝（﹣2，1，﹣1），所以cos＜＞＝＝，二面角B﹣AM﹣C平面角的余弦值为．【点评】熟练掌握线面、面面垂直的判定定理、性质定理及通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量求出面面角是解题的关键．21．作斜率为﹣1的直线l与抛物线C：y2＝2px交于A，B两点（如图所示），点P（1，2）在抛物线C上且在直线l上方．（Ⅰ）求C的方程并证明：直线PA和PB的倾斜角互补；（Ⅱ）若直线PA的倾斜角为，求△PAB的面积的最大值．,【考点】直线与圆锥曲线的综合．版权所有【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．【分析】（Ⅰ）利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简kPA+kPB＝0，即可证明；（Ⅱ）先由倾斜角的范围确定直线PA斜率的范围，结合（Ⅰ）中的结论，进一步求解b的取值范围，由弦长公式求出|AB|，点到直线的距离公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面积，构造函数f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．解：（Ⅰ）因为点P（1，2）在抛物线C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为y＝﹣x+b，因为直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P（1，2）在直线l的上方，所以设A（x1，y1），B（x2，y2），且1+2﹣b＞0，即b＜3，由，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，而由Δ＝[﹣（2b+4）]2﹣4b2＝16（b+1）＞0，解得b＞﹣1，因此﹣1＜b＜3，且x1+x2＝2b+4，，所以＝＝＝,，即kPA+kPB＝0，所以直线PA和直线PB的倾斜角互补；（Ⅱ）因为直线PA的倾斜角为，所以kPA＞1，又由（Ⅰ）可知，kPA+kPB＝0，所以，由（Ⅰ）可知，，即，所以，解得﹣1＜b＜3，又因为，而点P到直线l的距离为，所以△PAB的面积，设f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），则f'（x）＝3x2﹣10x+3＝（3x﹣1）（x﹣3），当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故当时，f（x）取得最大值为，所以△PAB的面积的最大值为．【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.设函数．,（1）证明：，都有；（2）若函数有且只有一个零点，求的极值．【答案】（1）证明见解答；（2）的极大值为，极小值为0．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）令，求导得，利用导数判断出的单调性，从而求出的最大值，最大值小于0，从而得证；（2）由，得，两边同时取对数整理得，则的零点个数等价于方程解的个数，令，求导，从而可得，求出，得出，令，求导，利用的单调性得出的符号，从而求出极值．解答：（1）证明：令，，则，令，可得，令，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为（4），所以，所以，都有．（2）解：由，得，则，所以，所以的零点个数等价于方程解的个数，令，则，且（a），所以在上单调递增，在上单调递减，,又因为（1），且由（1）知，则当，，所以时，（a）有且只有一个解，所以若函数有且只有一个零点，则，此时，所以，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，（1）（e），所以当时，，当时，，当时，，所以当时，，则，则，同理可得，当时，，当时，，所以和分别是函数的极大值点和极小值点，所以时，的极大值为，极小值为0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查零点个数问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
