2021-2022年普陀区高三上0.5模数学试题一、填空题1.已知集合，则 ．【解析】，所以.2.复数（为虚数单位），则 ．【解析】.3.用行列式解线性方程组，则的值为 ．【解析】.4.方程的解 ．【解析】由，得，所以，解得，所以方程的解为．5.展开式中的常数项为 ．【解析】展开式的通项为，令，得，故常数项为.6.已知，且，则 ． 【解析】，又，．7.已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为，则此三棱锥的体积为 ．【解析】是正三棱锥．过作平面交于点，延长交于．所以点是的中心，所以是等边的一条高，
所以，所以．因为平面，所以，所以，．因为是正三角形，所以，而，所以，所以，所以的面积，所以的体积为．8.设无穷等比数列的公比为，若，则 ．【解析】数列是无穷等比数列，且存在，则公比满足且，由，得，即，所以，解得或（舍去）．故．9.已知函数在区间上有两个零点，若，则实数的取值范围为 ．【解析】设.绘制函数在区间上的图像，如图.由题意得函数的图像与函数的图像有两个不同的交点，且交点的横坐标满足，则和为临界条件，
所以，解得.故实数的取值范围为.10.已知函数的定义域为，值域为，则函数在定义域上存在反函数的概率为 ．【解析】函数在定义域上存在反函数，只需要满足自变量和函数值一一对应，因此从1,2,3,4中选三个出来对应值域中的三个实数，即可满足题意，故函数在定义域上存在反函数的概率为.11.平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是 ．【解析】不妨设，由，设，则对任意实数，有，这等价于，解得，所以，于是．12.已知函数和的图象关于轴对称，当函数和在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是 ．【解析】因为函数与的图象关于轴对称，所以，因为区间为函数的“不动区间”，所以函数和函数在上单调性相同，
因为和函数的单调性相反，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，得，故实数的取值范围是.二、选择题13.已知，则“”是“”的 A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解析】，则“”“”，“”“或”，所以“”是“”的充分非必要条件．故选．14.若、表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为 A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【解析】选项中，由，，则可能在平面内，故该命题为假命题；选项中，由，，则或，故该命题为假命题；选项中，由线面垂直的判定定理得，该命题为真命题；选项中，由，得，相交或平行，故该命题是假命题，故选．15.已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是 A．，B．，C．，D．，【解析】设，则，易得函数在上单调递增，根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，故时，，，当时，，
因为，，所以，，所以，且，，即，，，，错误，正确．故选．16.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于狄利克雷函数，有下列4个命题：①对于任意的，；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数都是的周期；④存在三个点，使得为等边三角形．其中真命题的个数是 A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①当为有理数时，；当为无理数时，，所以当为有理数时，；当为无理数时，，即不管是有理数还是无理数，均有，故①正确；②有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意，都有，故②正确；③若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，故③正确；④取，，，得，，，所以，恰好为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选．
三、解答题17.已知三棱柱中，底面，，，，．（1）求证：；（2）设、分别为棱、的中点，求直线与所成的角．【解析】（1）因为底面，平面，所以．因为，所以．又平面，平面，，所以平面．因为平面，所以．（2）以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：则．所以，．所以．直线与所成的角为．18.已知向量和向量，且．（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）已知的三个内角分别为，若有，，求面积的最大值．【解析】（1）由得，
所以的最小正周期，最大值为2．（2）由（1）得．因为，得，因为，所以，所以，解得．又，即，所以，又（当且仅当时取等号），则，所以，所以，所以面积的最大值为．19.第四届“进博会”将于2021年11月份在国家会展中心进行．某企业计划在会展中心租用一个长方形展区用于产品展示,按照产品的展示要求,需要将展区设计为产品陈列区（阴影部分）和观众人行道两部分．已知产品陈列区的面积需要4000平方米，人行道的宽分别需要4米和10米（如图）（1）设产品陈列区的长和宽的比（长＞宽），求展区所占面积关于的函数的解析式；（2）为了使参展所用费用最小（即展区所占面积最小，不考虑其它），问：产品陈列区的长和宽该如何设计？【解析】（1）设宽为米，则其长为米，所以，所以；（2），
当且仅当时，所占面积最小，此时，，即的长为100米，宽为40米．20.设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，则称函数与在上互为“函数”．（1）函数与在上互为“函数”，求集合；（2）若函数且与在集合上互为“函数”，求证：；（3）函数与在集合且上互为“函数”，当时，，求函数在上的解析式．【解析】（1）由，得，所以，或，解得或，，即集合．（2）由题意得且，所以，由于且，所以，因为，所以，即．（3）当时，，由于与函数在集合上“互为函数”，所以当，恒成立，对于任意的恒成立，即，所以，即，所以，当时，，，
所以当时，，所以当时，．21.设数列的前项和为，若对任意的，均有是常数且成立，则称数列为“数列”，已知的首项．（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）若数列为“数列”，且为整数，若不等式对一切，恒成立？求数列中的所有可能的值；（3）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值，若不存在，请说明理由．【解析】（1）数列为“数列”，则，故，两式相减得，又时，，所以，故对任意的恒成立，即（常数），故数列为等比数列，其通项公式为，．（2）数列为“数列”，则，，两式相减得，，当时，，当时，，则，则，因为，所以，因为，，得，所以，且
．解得，，，，．（2）假设存在这样的数列，则，故，两式相减得，故有同理由是“数列”得，所以对任意恒成立．所以，即，又，即，两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．
