2021－2022学年度上学期孝感市普通高中协作体期中联合考试高三数学试卷本试卷满分150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}2.设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝A.－1＋2iB.1－2iC.3＋2iD.3－2i3.已知向量AB＝a＋3b，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，则A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线2x4.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是5，则a＝2a1A.B.2C.4D.625.函数f(x)＝tan(2x－)的单调递增区间是3kk5kk5A.[，](k∈Z)B.(，)(k∈Z)21221221221225C.(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)D.[kπ－，kπ＋](k∈Z)6312126.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差,为A.8B.15C.16D.327.函数f(x)＝asinx－bcosx，若f(－x)＝f(＋x)，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为4423A.B.C.D.43348.若过点(a，b)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则A.a<lnbb.b<lnac.lnb<ad.lna<b二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中成立的是A.sinθ<0B.sinθ>0C.cosθ>0D.cosθ<01110.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是2312A.甲获胜的概率是B.甲不输的概率是6321C.乙输的概率是D.乙不输的概率是3222xy11.已知椭圆1(ab0)的离心率为e，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上22ab存在点P使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值可以是2332A.B.C.D.342212.已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点O，将△ABD沿BD折起来，使顶点A至点M的位置。在折起的过程中，下列结论正确的是A.BD⊥CMB.存在一个位置，使△CDM为等边三角形C.DM与BC不可能垂直D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。,13.等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝。114.函数f(x)＝的定义域为。log2x215.一个与球心距离为3的平面截球所得的圆周长为26π，则球的表面积为。16.函数f(x)＝|ax－1|＋eax(a<0)的最小值为。四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。417.(本小题满分10分)在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝。54(1)求AB的长；(2)求cos(A－)的值。618.(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16。(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋a2n，求数列{bn}的前n项和为Sn。19.(本小题满分12分)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取50名同学(男30女20)，给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题进行解答，则选题情况如表所示。(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？(2)现从选择做几何题的8名女同学(包含甲、乙)中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲、乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)。附：22n(adbc)K。(ab)(cd)(ac)(bd)20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，,PD＝DC，点E是PC的中点。(1)求证：PA∥平面BDE；(2)若直线BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角CPBD的大小。21.(本小题满分12分)斜率为k(k≠0)的直线l与抛物线y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点。(1)当x1＋x2＝2时，求k；(2)若OB⊥l，且|AB|＝3|OB|，求|AB|。1lnx22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝。x(1)求f(x)的极值；11(2)若两个不相等正数x1，x2满足f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2>。xx122021—2022学年度上学期孝感市普通高中协作体,期中联合考试高三数学参考答案及评分细则选择题：1~8.DCBABCDD9.BD10.AB11.BC12.ABD填空题：13．614．{x|x>2且x≠3}（也可用区间表示）15．36π16．2解答题：标注的分数表示解答到这一步的累计得分,如果学生用其它解法，酌情给分4242317．解：(1)因为cosB＝，0<b<π，所以sinb＝1－cosb＝1－5＝.……（2分）5526×acabac·sinc2由正弦定理知＝，所以ab＝＝＝52.………………（5分）sinbsincsinb35(2)在△abc中，a＋b＋c＝π，所以a＝π－(b＋c)，…………………………（6分）πb＋ππ于是cosa＝－cos(b＋c)＝－cos4＝－cosbcos＋sinbsin，…………（7分）444342322又cosb＝，sinb＝，故cosa＝－×＋×＝－.……………………（8分）55525210272因为0<a<π，所以sina＝1－cosa＝.……………………………………（9分）10πa－ππ2372172－6因此，cos6＝cosacos＋sinasin＝－×＋×＝.…（10分）661021022018．解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16，……………………（2分）∵an＋13－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.∴an＝2.……………………………………（6分）(2)由(1)可知a2n＋1，从而数列{a2n＝4n}是首项为16、公比为4的等比数列……（8分）s222n＝b1＋b2＋…＋bn＝（a1＋a2＋…＋an）＋（a1＋a2＋…＋an）…………（10分）＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(42＋43＋…＋4n＋1)4（1－2n）16（1－4n）4n+228＝＋＝＋2n＋2－…………………………………（12分）1－21－43350×（22×12－8×8）25019．解：(1)由题意得k2＝＝≈5.556>5.024，………………（3分）30×20×30×209所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关．……………………（6分）(2)在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2名，抽取的方法有C28＝28种，（7分）其中甲、乙2名女同学都没有被抽到的抽取方法有C26＝15种；恰有1名被抽到的抽取方法有C1122·C6＝12种；2名女同学都被抽到的抽取方法有C2＝1种．所以X的所有可能取值为0，1，2，…………………………………………（8分）151231P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝.…………………………………（10分）2828728X的分布列为,X0121531P2872815311所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.…………………………………………（12分）28728220．解：(1)证明：如图，连接AC交BD于O，连接OE.…………………………（2分）由题意可知，PE＝EC，AO＝OC，所以PA∥EO，……………………………（3分）又PA⊄平面BED，EO⊂平面BED，所以PA∥平面BED.……………………（6分）(2)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，不妨令PD＝CD＝1，AD＝a(a>0)，…………………………（7分）则D(0，0，0)，B(a，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，→→→DB＝(a，1，0)，PB＝(a，1，－1)，PC＝(0，1，－1)．……………………（8分）设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，→PB·n＝0，ax＋y－z＝0，由得所以可取n＝(0，1，1)．P→C·n＝0，y－z＝0，→→|DB·n|11由直线BD与平面PBC所成的角为30°，得|cos〈DB，n〉|＝＝＝，|D→B||n|a2＋1×22解得a＝1或a＝－1(舍去)．………………………（10分）可得平面PBD的一个法向量m＝(－1，1，0)，n·m11所以cos<n，m>＝＝＝.|n||m|2×22因为二面角CPBD为锐二面角．所以二面角CPBD的大小为60°.………（12分）21．解：(1)由已知可得y221＝x1，y2＝x2，………………………………（2分）所以y221－y2＝x1－x2＝(x1＋x2)(x1－x2)＝2(x1－x2)，………………………………（5分）y1－y2此时直线l的斜率k＝＝2.………………………………（6分）x1－x21y22x21(2)因为OB⊥l，所以kOB＝－，又因为kOB＝＝＝x2，所以x2＝－，kx2x2ky1－y21又由(1)可知，x1＋x2＝＝k，从而x1＝k－x2＝k＋，……………………（8分）x1－x2k,2所以|AB|＝1＋k2|x2|k＋|1－x2|＝1＋kk，111＋k2|OB|＝x2224＋＝.……………………………（10分）2＋y2＝x2＋x2＝k2k4k22k＋|31＋k2因为|AB|＝3|OB|，所以1＋k2|k＝，k22化简得|k3＋2k|＝3，解得k＝±1，所以|AB|＝1＋k2|k＋|＝32.…………（12分）klnx22．解：(1)f′(x)＝－，由f′(x)＝0可得x＝1，………………………………（2分）x2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗极大值1↘由表可知函数f(x)的极大值为f(1)＝1，无极小值．…………………………（5分）(2)不妨设x1>x2>0，f(x1)＝f(x2)＝a，则lnx1＝ax1－1，lnx2＝ax2－1，……（6分）lnx1－lnx2所以lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)－2，lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，所以＝a，（8分）x1－x211欲证x1＋x2＞＋，只需证x1x2>1，即证lnx1＋lnx2>0.x1x2lnx1－lnx2x1＋x2x1因为lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)－2＝(x1＋x2)－2＝ln－2x1－x2x1－x2x2x1x1＋12（－1）x2x1x1x2＝ln－2，故只需证ln>,……………………………（10分）x1x2x2x1－1＋1x2x2x12（c－1）令c＝(c>1)，则所证不等式变为lnc>.x2c＋12（c－1）4（c－1）21令h(c)＝lnc－，c>1，则h′(c)＝－＝>0，c＋1c（c＋1）2c（c＋1）2所以h(c)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(c)>h(1)＝ln1－0＝0，2（c－1）即lnc－>0(c>1)，因此原不等式得证．……………………………（12分）c＋1</n，m></b<π，所以sinb＝1－cosb＝1－5＝.……（2分）5526×acabac·sinc2由正弦定理知＝，所以ab＝＝＝52.………………（5分）sinbsincsinb35(2)在△abc中，a＋b＋c＝π，所以a＝π－(b＋c)，…………………………（6分）πb＋ππ于是cosa＝－cos(b＋c)＝－cos4＝－cosbcos＋sinbsin，…………（7分）444342322又cosb＝，sinb＝，故cosa＝－×＋×＝－.……………………（8分）55525210272因为0<a<π，所以sina＝1－cosa＝.……………………………………（9分）10πa－ππ2372172－6因此，cos6＝cosacos＋sinasin＝－×＋×＝.…（10分）661021022018．解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16，……………………（2分）∵an＋13－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.∴an＝2.……………………………………（6分）(2)由(1)可知a2n＋1，从而数列{a2n＝4n}是首项为16、公比为4的等比数列……（8分）s222n＝b1＋b2＋…＋bn＝（a1＋a2＋…＋an）＋（a1＋a2＋…＋an）…………（10分）＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(42＋43＋…＋4n＋1)4（1－2n）16（1－4n）4n+228＝＋＝＋2n＋2－…………………………………（12分）1－21－43350×（22×12－8×8）25019．解：(1)由题意得k2＝＝≈5.556></lnbb.b<lnac.lnb<ad.lna<b二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>
