哈工大附中2021-2022上学期期末（文科数学）试卷时间：120分钟分值：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合，，则( )A.B.C.D. 2.已知，则（ ）A.B.C.D. 3.正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（ ）A.B.C.D. 4.已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是( )A.B.C.D.5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，，则 6.过点且垂直于的直线方程为（ ）
A.B.C.D. 7.过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）A.或B.或C.或D.或 8.在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为 A.B.C.D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。错选不给分，漏选得2分。）9.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则（ ）A.两人都中靶的概率为B.恰好有一人中靶的概率为C.两人都脱靶的概率为D.恰好有一人脱靶的概率为 10.已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是( )A.当时，函数取得极大值B.函数在区间上是单调递减的C.当时，函数取得极小值
D.函数在区间上是单调递增的 11.关于，的方程（其中）表示的曲线可能是( )A.圆心为坐标原点的圆B.焦点在轴上的双曲线C.焦点在轴上的双曲线D.长轴长为的椭圆 12.函数，下列对函数的性质描述正确的是( )A.函数的图象关于点对称B.若，则函数有极值点C.若，函数在区间上单调递减D.若函数有且只有个零点，则a的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.有一组数据：，，，，，其平均数是，则其方差是________.14.双曲线的离心率为，则它的一个焦点到一条渐近线的距离为________.15.已知为曲线上一点，，，则的最小值为________.16.已知曲线在处的切线方程为，则________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分。）17.（本题10分）在中，已知a，，分别是三内角，，所对应的边长，且．求角的大小；
若，且的面积为，求． 18.（本题12分）为深入学习贯彻习近平总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，推动教育系统围绕建党百年重大主题，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，以昂扬的状态迎接中国共产党建党周年，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛．为了解本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．求直方图中a的值，并求该次知识竞赛成绩的第50百分位数（精确到0.1）；已知该样本分数在的学生中，男生占，女生占现从该样本分数在的学生中随机抽出人，求至少有人是女生的概率. 19.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点．求证：平面；若，求平面与平面的夹角大小．
20.（本题12分）已知函数．当时，求的极值；讨论 。21.（本题12分）已知的内角，，的对边分别为a，，，若向量 ，且求角的值；已知的外接圆半径为，求周长的最大值.22.（本题12分）设椭圆：的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是求椭圆的方程；已知过的直线与椭圆交于，两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．参考答案与试题解析哈工大附中2021-2022上学期期末（文科数学）试卷
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）1.【答案】C 【解答】解：，，．2.【答案】B【解答】解：，则.3.【答案】B4.【答案】D【解答】解：根据题意，易得，∵与两向量互相垂直，∴，解得.5.【答案】D【解答】解：，若，，，则 或异面，故该选项错误；，若，，，则或相交，故该选项错误；，若，，，则，不一定垂直，故该选项错误；，若，，，，则利用面面垂直的性质可得，故该选项正确.6.【答案】C7.【答案】D【解答】圆心为，半径为，斜率不存在时，直线满足题意，斜率存在时，设直线方程为，即由，得，直线方程为，即8.【答案】C【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图所示；设 ，则， ，，所以，，，
，所以，所以当时取得最小值为二、多选题（本题共计4小题，每题3分，共计12分）9.【答案】A,D10.【答案】B,C11.【答案】A,C12.【答案】A,D【解析】利用函数的对称性即可判断选项是否正确．对函数求导，分别就和进行讨论，即可判断选项．C是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数的单调性，可知函数的极小值小于，极大值大于，列出不等式组，求出的取值范围，由此即可判断选项是否正确．【解答】解：对于选项，因为，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，故选项正确；对于选项，由，当时，，函数在定义域内为增函数，此时函数没有极值点，故选项错误．对于选项，当时，由，解得,又因为时，，
所以函数在区间上单调递增，故选项错误；对于选项，由,当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；当时，由，解得,又因为时，；时，；时，，所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为，所以函数的极小值是，极大值是.因为函数有且只有个零点，所以解得，故选项正确．故选．三、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分）13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】
四、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）17.【答案】解：已知，由余弦定理，得.∵，∴.由得，∴.∵，， ∴，∴．18.【答案】解：，由，解得．该次知识竞赛成绩的第50百分位数为．分数在）的人数有人，所以这人中，女生有人，记为、，男生有人，记为、、、．从这人中随机选取人，基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共种不同取法；则至少有人是女生的基本事件为、、、、、、、、，共种不同取法，则所求的概率为．19.【答案】解：取的中点，连接，．因为，，所以，又，，所以．以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系．可得，，，，，
所以，，设平面的法向量为．则可得令，则，所以平面的法向量为，平面的法向量为，因此．即平面与平面所成的夹角为．20.【答案】解：当时，，(x>0)则．令，得，，得;，得所以的单调递减区间为；单调递增区间为.所以的极小值为f(2)=4-4ln2.无极大值。(2)令则．当时，,在上单调递减.当时，，得.，得;，得在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递减.
当时，在上单调递减，在上单调递增，21.【答案】解：由，得 ，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.根据题意，得，由余弦定理，得，即，整理得，当且仅当时，取等号，所以的最大值为所以.所以的周长的最大值为 .22.【答案】解：依题意，，因为，所以，所以椭圆方程为；设，则由可得，即，，.又因为，所以四边形是平行四边形.设平面四边形的面积为，
则.设，则，所以.因为 ，所以，所以，所以四边形面积的最大值为．
