保密☆启用前广东省华南师大附中2022届高三第一学期高三模拟考试（数学）评卷人得分 一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x|2x-1>1},B={x|x2-2x≤0},则A∩B=A.[1,2)B.[1,2]C.(0,3]D.(1,2]2．在复平面内,复数z=(i是虚数单位)对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,点F满足=2,那么=A.B.C.D.4．函数y=(其中e为自然对数的底数)的图象大致是A.B.C.D.5．在如图所示的正方形内任取一点M,其中图中的圆为该正方形的内切圆,图中的圆弧为以正方形的顶点为圆心,正方形边长的一半为半径的圆弧,则点M恰好取自阴影部分的概率为A.B.C.-1D.2-,6．(3x+1)(-1)5的展开式中的常数项为A.14B.-14C.16D.-167．已知α为锐角,且cosα(1+tan10°)=1,则α的值为A.20°B.40°C.50°D.70°8．设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E(0,t)(0<t<b),已知动点p在椭圆上,且点p,e,f2不共线,若△pef2的周长的最小值为3b,则椭圆c的离心率为a.b.c.d.9．设三棱柱abc-a1b1c1的侧棱垂直于底面,ab=ac=2,∠bac=90°,aa1=3,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是a.24πb.18πc.26πd.16π10．设sn是数列{an}的前n项和,若an+sn=2n,=2an+2-an+1(n∈n*),则数列{}的前99项和为a.b.c.d.11．已知函数f(x)=,若f(a)=f(b)(a<b),则ab的最小值为a.b.c.d.12．已知双曲线e:=1(a>0,b>0),过其右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为B,交y轴于点C,交另一条渐近线于点A,并且点C位于点A,B之间,O为坐标原点,若|OA|=a,则=A.B.C.D.第II卷（非选择题） 评卷人得分 二、填空题(共4题，每题5分，共20分),13．已知函数f(x)=ax-log2(2x+1)+cosx(a∈R)为偶函数,则a= .14．已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=6,则a8= .15．若f(x)=2sin(2x+φ)(φ>0)的图象关于直线x=对称,且当φ取最小值时,x0∈(0,),使得f(x0)=a,则a的取值范围是 .16．在四面体PABC中,△ABC为等边三角形,边长为6,PA=6,PB=8,PC=10,则四面体PABC的体积为 . 评卷人得分 三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角C的值;(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为,求△ABC的周长.18．如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C是菱形,其对角线的交点为O,且AB=AC1,AB⊥B1C.(1)求证:AO⊥平面BB1C1C;(2)设∠B1BC=60°,若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°,求二面角A1-B1C1-B的余弦值.,19．已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.20．某市有一家大型共享汽车公司,在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车,已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3∶1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量,决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验,假设每辆汽车被抽取的可能性相同.(1)求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率.(2)在试驾体验过程中,发现蓝色汽车存在一定质量问题,监管部门决定从投放的汽车中随机地,抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测,并规定:若抽到的是黄色汽车,则将其放回市场,并继续随机地抽取下一辆汽车;若抽到的是蓝色汽车,则抽样结束.抽样的次数不超过n(n∈N*)次.在抽样结束时,若已抽到的黄色汽车数以ξ表示,求ξ的分布列和数学期望.21．已知函数f(x)=aex-e-x-(a+1)x(a∈R),f(x)既存在极大值,又存在极小值.(1)求实数a的取值范围;(2)当0<a<1时,x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,且f(x1)+kf(x2)>0,求实数k的取值范围.22．[选修4-4:坐标系与参数方程],在平面直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设直线l1与l2的交点为P,当k变化时点P的轨迹为曲线C1.(1)求出曲线C1的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=3,点Q为曲线C1上的动点,求点Q到直线C2的距离的最大值.23．[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(x)≥3-2|x|的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+|x-5|的最小值为m,正数a,b满足a+b=m,求证:≥4,保密☆启用前（数学）答案1.D2.D3.C4.D5.C6.A7.B8.D9.C10.C11.B12.B13.14.315.(-,2]16.817.解:(1)由正弦定理得sinAsin(π-2C)=sinCsin(π-A)=sinCsinA,因为sinA≠0,所以sin(π-2C)=sinC,即sin2C=2sinCcosC=sinC.因为sinC≠0,所以cosC=,因为0<c<π,所以c=.(2)由s△abc=absinc=,可得ab=4.因为2a+b=6,所以2a+=6,解得a=1或2.当a=1时,b=4,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosc,得c=,所以△abc的周长为5+.,当a=2时,b=2,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosc,得c=2,所以△abc的周长为6.综上,△abc的周长为6或5+.18.解:(1)∵四边形bb1c1c是菱形,∴b1c⊥bc1.∵ab⊥b1c,ab∩bc1=b,∴b1c⊥平面abc1,∴b1c⊥ao.∵ab=ac1,o是bc1的中点,∴ao⊥bc1,又b1c∩bc1=o,∴ao⊥平面bb1c1c.(2)∵ab∥a1b1,∴直线a1b1与平面bb1c1c所成的角等于直线ab与平面bb1c1c所成的角.∵ao⊥平面bb1c1c,∴直线ab与平面bb1c1c所成的角即∠abo,∴∠abo=45°.不妨设菱形bb1c1c的边长为2,则在等边三角形bb1c中,bo=,co=b1o=1,在rt△abo中,ao=bo=.>=,由图可知二面角A1-B1C1-B为钝二面角,∴二面角A1-B1C1-B的余弦值为-. 19.解:(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=,则C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2,所以4=4,则有,所以a=2,b=,所以椭圆C1的方程为=1,抛物线C2的方程为y2=8x.(2)依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,由,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=,y1y2=.根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).因为kNQ=kEQ,所以,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·-(m+4)·=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).20.解:(1)随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为,用X表示“抽取的5辆汽车中蓝色汽车的个数”,则X服从二项分布,即X~B(5,),所以抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率P=()3()2=.(2)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=()2×,…,P(ξ=n-1)=()n-1·,P(ξ=n)=()n.所以ξ的分布列为ξ012…n-1nP()2×…()n-1×()nξ的数学期望E(ξ)=1×+2×()2×+3×()3×+…+(n-1)×()n-1×+n×()n①,E(ξ)=1×()2×+2×()3×+…+(n-2)×()n-1×+(n-1)×()n×+n×()n+1②.①-②得E(ξ)=+()2×+()3×+…+()n-1×+[n×()n-(n-1)×()n×-n×()n+1]=+()2×+()3×+…+()n-1×+()n×,所以E(ξ)=+()2+()3+…+()n-1+()n==3[1-()n]=3-3×()n.21.解:(1)由f(x)=aex-e-x-(a+1)x得f'(x)=aex+e-x-(a+1),即f'(x)=e-x(ex-1)(aex-1).由f(x)既存在极大值,又存在极小值,知f'(x)=0必有两个不相等的实数根.由ex-1=0得x=0,所以aex-1=0必有一个非零实数根,∴a≠0,ex=,∴>0且≠1,∴0<a<1或a>1.∴实数a的取值范围为(0,1)∪(1,+∞).(2)当0<a<1时,由(1)可知f(x)的极大值点为x1=0,极小值点为x2=-lna,此时f(x1)=a-1,f(x2)=1-a+(a+1)lna,依题意得a-1+k[1-a+(a+1)lna]>0对任意0<a<1恒成立,由于此时f(x2)<f(x1)<0,所以k<0,所以k(a+1)lna>(a-1)(k-1),即lna<(1-).设g(x)=lnx-(1-),x∈(0,1),,则g'(x)=-(1-),令x2+x+1=0(*),则其判别式Δ=-4.①当k≤-1时,Δ≤0,所以g'(x)≥0,g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x)<ln1-(1-)=0,即lna<(1-),符合题意;②当-1<k<0时,δ>0,设(*)的两根为x3,x4,且x3<x4,则x3+x4=->0,x3x4=1,因此0<x3<1<x4,则当x3<x<1时,g'(x)<0,g(x)在(x3,1)上单调递减,所以当x3<a<1时,g(a)>ln1-(1-)=0,即lna>(1-),不合题意.综上,k的取值范围是(-∞,-1].22.解:(1)分别消去l1,l2的参数方程中的参数,得l1,l2的普通方程为l1:y=k(x+),l2:y=(-x),两式相乘消去k可得+y2=1,因为k≠0,所以y≠0,所以曲线C1的普通方程为+y2=1(y≠0).(2)因为ρsin(θ+)=3,所以ρsinθ+ρcosθ=6,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得直线C2的直角坐标方程为x+y-6=0.结合(1)知曲线C1与直线C2无公共点.曲线C1的参数方程为(α为参数,α≠kπ,k∈Z),所以曲线C1上的点Q(cosα,sinα)到直线x+y-6=0的距离d=,所以当sin(α+)=-1时,d取得最大值,为4.,23.解:(1)当x≥1时,x-1≥3-2x⇒x≥,∴x≥;当0</x3<1<x4,则当x3<x<1时,g'(x)<0,g(x)在(x3,1)上单调递减,所以当x3<a<1时,g(a)></x4,则x3+x4=-></ln1-(1-)=0,即lna<(1-),符合题意;②当-1<k<0时,δ></a<1恒成立,由于此时f(x2)<f(x1)<0,所以k<0,所以k(a+1)lna></a<1时,由(1)可知f(x)的极大值点为x1=0,极小值点为x2=-lna,此时f(x1)=a-1,f(x2)=1-a+(a+1)lna,依题意得a-1+k[1-a+(a+1)lna]></a<1或a></c<π,所以c=.(2)由s△abc=absinc=,可得ab=4.因为2a+b=6,所以2a+=6,解得a=1或2.当a=1时,b=4,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosc,得c=,所以△abc的周长为5+.,当a=2时,b=2,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosc,得c=2,所以△abc的周长为6.综上,△abc的周长为6或5+.18.解:(1)∵四边形bb1c1c是菱形,∴b1c⊥bc1.∵ab⊥b1c,ab∩bc1=b,∴b1c⊥平面abc1,∴b1c⊥ao.∵ab=ac1,o是bc1的中点,∴ao⊥bc1,又b1c∩bc1=o,∴ao⊥平面bb1c1c.(2)∵ab∥a1b1,∴直线a1b1与平面bb1c1c所成的角等于直线ab与平面bb1c1c所成的角.∵ao⊥平面bb1c1c,∴直线ab与平面bb1c1c所成的角即∠abo,∴∠abo=45°.不妨设菱形bb1c1c的边长为2,则在等边三角形bb1c中,bo=,co=b1o=1,在rt△abo中,ao=bo=.></a<1时,x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,且f(x1)+kf(x2)></t<b),已知动点p在椭圆上,且点p,e,f2不共线,若△pef2的周长的最小值为3b,则椭圆c的离心率为a.b.c.d.9．设三棱柱abc-a1b1c1的侧棱垂直于底面,ab=ac=2,∠bac=90°,aa1=3,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是a.24πb.18πc.26πd.16π10．设sn是数列{an}的前n项和,若an+sn=2n,=2an+2-an+1(n∈n*),则数列{}的前99项和为a.b.c.d.11．已知函数f(x)=,若f(a)=f(b)(a<b),则ab的最小值为a.b.c.d.12．已知双曲线e:=1(a>
