佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题数学命题人：程生根黄玲玲2021年11月本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上。不按以上要求作答的答案无效。第一部分选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A．B．C．或D．与的位置关系不能判断2．直线：，：，若，则（）A．－3或2B．3或－2C．－3D．23.已知向量，，若与夹角为，则的值为（）A．B．C．－1D．14.有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“A”的概率为（）A．B.C.D.5.长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为()A．B．C．D．6.过点作圆的两条切线，设切点分别为A、B，则直线AB的方程为（）A．B．C．D．佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
7．如图所示，空间四边形OABC中，，，，为中点，点在BC上，且，则等于（）A．B．C．D．8．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）A．6B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．空间直角坐标系中，设坐标原点为O，定点A、B、C坐标分别是、、，则有()A．四面体OABC的体积为1B．DABC是锐角三角形C．是平面ABC的一个法向量D．若点D的坐标为（3，－2，1），则DÎ平面ABC10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数。若用表示红色骰子的点数，若用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，定义事件：A=“为奇数”,B=“”，C=“”，则下列结论正确的是（）A．P(A)=3P(B)B．A与B互斥C．A与B独立D．B与C独立11．如图，在正方体中，点E是线段(含端点）上的动点，则下列结论正确的是（ ）A．存在点E，使B．异面直线与所成的角最小值为C．无论点E在线段的什么位置，都有D．无论点E在线段的什么位置，都有佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
12．以下四个命题中为真命题的是（）A．圆关于直线对称的圆方程为B．圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于1C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则D．已知圆：，点为直线上一动点，过点P向圆C引切线PA，为切点，则|PA|的最小值为1.第二部分非选择题（90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点（－1，3）且与直线垂直的直线方程为________．14．已知向量，，若与垂直，则___________.15．某校高二级学生会主席团共有5名成员，其中女生比男生多。现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名女生的概率为.16．已知两定点，，是圆：上的动点．则（1）的最大值为__________.（2）的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本题10分）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且.（1）求直线和的交点坐标；（2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程.18．（本题12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点．（1）设经过、、三点的平面交于，证明：为的中点；（2）若底面，且，求四面体的体积．佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
19．（本题12分）射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息，箭靶区域环外黑环蓝环红环黄圈区域颜色白色黑色蓝色红色黄色环数1-2环3-4环5环6环7环8环9环10环甲成绩(频数)0012363624乙成绩(频数)01246113612用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响.（1）估计甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率；（2）甲乙各射出一支箭，求有人命中10环的概率；（3）甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率.20．（本题12分）如图甲，直角梯形中，AB⊥AD，ADBC，F为AD中点，E在BC上，且，已知AB=AD=CE=2，现沿EF把四边形CDFE折起（如图乙），使平面CDFE⊥平面ABEF.（1）求证：平面BCE；（2）求证：平面ABC⊥平面BCE；21．（本题12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．（1）求证：；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．22．（本题12分）已知圆C过点A(2,6)，且与直线l1:x+y－10=0相切于点B(6,4).(1)求圆C的方程；(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l2的方程；(3)在直线l3:y=x－2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F,使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试数学答案一、选择题123456789101112BCACABBCABDABDACDCD二、填空题13.14.15.16.11．对于A，当点E与点重合时，，，∴，即，故A正确；对于B，∵，异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，根据最小角定理，与所成角的最小值即为与平面所成角，由三余弦定理可得，即，故B不正确；对于C，∵平面，∴，故C正确；对于D，易知平面平面，平面，所以，故D正确.12．对于A，圆关于直线对称的圆方程为，所以A不正确；对于B，由圆，可得圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，所以B不正确；对于C，由圆，可得圆心坐标为，半径为，由圆，可得圆心坐标为，半径为，可得圆心距，要使得圆与恰有三条公切线，则且，解得，所以C正确；佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
对于D中，因为，，所以，故D正确.16．解：（1）由题意，圆半径为，所以；（2）取，∵，，，∴，∴，可得，∴，直线方程为，即，原点到直线距离为，直线与圆相交，所以共线时，．三、解答题17．(本题10分)解：（1）由直线的方程为且，可得直线的斜率为2，……1分又在轴上的截距为，即过点……2分所以直线方程：即，……3分联立方程，得：，故交点为.……5分（2）当直线过原点时，方程为：，……6分当直线不过原点时，设方程为，……7分则，故方程为：，即，……9分佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
综上所述：的方程为或.……10分18．(本题12分)解：（1）证明：连结.因为底面为矩形，所以.……1分又平面，且平面，所以平面.……3分又平面，且平面平面，所以.……4分又因为，所以……5分因为为的中点，所以为的中点.……6分（2）平面，平面，，又，平面.……8分取中点，连，是中点，，即且平面，……10分又的面积.……11分四面体的体积.……12分19.(本题12分)解：（1）设A=“甲运动员一箭命中10环”，B=“乙运动员一箭命中黄圈”……1分（A）=，P（B）=，……3分（2）设C=“乙运动员一箭命中10环”，D=“有人命中10环”，则，……4分法一：,，,又A、C独立，……6分；……8分法二：,,，又A、C独立；互斥……6分……8分佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
法三：,,，又A、C独立；……6分.……8分(3)设Ai=“甲运动员第i箭命中黄圈”，Bi=“乙运动员第i箭命中黄圈”则设E=“共有3支箭命中黄圈”，……10分，又相互独立；互斥故。……12分19.(本题12分)解：（1）证明：法一：取CE的中点G，连接DG、BG，则DFEG且DF=EG，所以四边形DFEG为平行四边形，……1分∴DGEF，又ABEF，所以DGAB，……2分又DG=EF=AB，所以四边形ABGD为平行四边形，所以ADBG，……4分因为平面，平面，所以平面.……6分法二：由题意知AFBE，平面，平面，所以AF//平面BCE,…2分同理，DF//平面BCE……3分G∵AF∩DF=F，∴平面ADF平面BCE，…4分又AD⊂平面ADF，……5分∴AD平面BCE；……6分（2）证明：在图甲中，EFAB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，则在图乙中，CE⊥EF，……7分又∵平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF=EF，∴CE⊥平面ABEF，得CE⊥AB，……9分又∵AB⊥BE，,∴AB⊥平面BCE.……11分AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCE；……12分21．(本题12分)解：佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
（1）证明：取中点，连接,因为分别是的中点，所以，……1分因为，所以，……2分所以四边形是平行四边形，所以，……3分因为平面，平面，所以平面……4分（2）因为，且平面平面，所以平面，因为与平面所成角为，所以，……5分因为底面是边长为2的菱形，且，所以，所以，……6分以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，，……7分设平面的法向量，则，取，则，，则，……9分取平面的法向量，……10分设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以.……11分所以二面角的余弦值为.……12分22．(本题12分)解：（1）设圆心坐标，半径为，圆C过点A(2,6),且与直线l1:x+y－10=0相切于点B(6,4)，佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
所以……2分即，解得，所以……3分所以圆C的方程：；……4分（2）过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,，所以△CMN为等腰直角三角形，且，所以圆心到直线l2的距离为，……5分当直线l2的斜率不存在时，直线方程，圆心到直线l2的距离为5，符合题意；……6分当直线l2的斜率存在时，设斜率为，直线方程为，即圆心到直线l2的距离为，即，，解得，……7分直线l2的方程为或；……8分（3）若直线l3:y=x－2上存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F,使△QEF为正三角形,即，在中，，……9分设，即……10分解得或……11分所以点的坐标为或.……12分.佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第9页，共10页
