保密☆启用前广州市第六中学2022届高三第一学期期末模拟考试（数学）姓名：得分：第I卷（选择题）评卷人得分 一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知全集U={x∈N|0≤log2≤1},集合A={x∈N|2≤2x≤8},则∁UA=A.{x|3<x≤4}b.{4}c.{0,4}d.{x|3≤x≤4}2．已知复数z1=在复平面内对应的点为z1,复数z2在复平面内对应的点为z2,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为a.0b.1c.-1d.-i3．已知函数f(x)=2sin(x+),则f(x)在[,1]上的单调递增区间为a.[-,]b.[-1,]c.[-1,1]d.[-,]4．已知双曲线方程为x2-=λ,则“λ=”是“双曲线离心率为2”的a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件5．在区间[0,2]上随机取两个数x,y,若事件“|y-x|≤a”发生的概率与事件“x+y≤2”发生的概率相等,则a的值为a.1b.2-c.2d.2+6．已知等比数列{an}的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q=a.2或b.c.1或-1d.17．某三棱锥的三视图如图所示,其中小正方形的边长均为1.三棱锥上的点m在俯视图上的对应点为a,点n在左视图上的对应点为b,则线段mn长度的最大值为14,a.3b.3c.9d.68．执行如图所示的程序框图,则输出的s的值为a.-b.2-c.-2-d.9．已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,点a是抛物线c上任意一点,ao(o为坐标原点)交直线x=-1于点b,af交抛物线c于另一点d,则直线bd的斜率为a.-1b.0c.1d.210．如图,在平面四边形abcd中,||=||,=2,=-2,||=||=2,若f为线段de上的动点,则·的最小值为a.1b.2c.4d.311．在棱长为2的正方体abcd-a'b'c'd'中,有一个与正方体各个面均相切的球,平面ab'd'截该球所得截面的面积为a.πb.πc.πd.2π12．已知f(x),g(x)分别为定义域为r的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=ex,若关于x的不等式2f(x)-ag2(x)≥0在(0,ln2)上恒成立,则实数a的取值范围是a.(-∞,)b.[,+∞)c.(-∞,]d.(-,0)14,第ii卷（非选择题）请点击修改第ii卷的文字说明>a2,则a99= . 评卷人得分 三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°.(1)若a=2b,求tanA的值;(2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求△ABC周长的最小值.14,18．如图1,在平面四边形ABCD中,E是AD的中点,AD=2EC=4AB=4,∠A=∠D=60°.将△CDE沿CE折起,使点D到点P的位置,得到四棱锥P-ABCE(如图2),其中平面PCE⊥平面ABCE.(1)求证:BE⊥PC.(2)求二面角P-AB-E的大小.19．14,某地区共有200个村庄,根据扶贫政策的标准,划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的GDP(国内生产总值)(单位:万元)情况,利用分层抽样的方法,从中抽取一个容量为20的样本,并绘成如图所示的茎叶图.(1)(i)分别求样本中非贫困村与贫困村的GDP的平均值;(ii)利用样本平均值来估算该地区2018年度的GDP的总值.(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研,设X表示被调研的村中GDP低于(i)中贫困村GDP平均值的村的个数,求X的分布列及数学期望.20．已知点A(1,e)为椭圆E:=1(a>b>0)上一点,其中e14,为椭圆的离心率,椭圆的长轴长是短轴长的两倍.(1)求椭圆E的方程;(2)B,C(均不与点A重合)是椭圆上关于原点对称的两点,当△ABC的面积最大时,求直线BC的方程.21．已知函数f(x)=ex-ax2-x-1.(1)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的值;(2)若f(x)在定义域内有唯一的零点,求实数a的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π14,).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆心为(,π)的圆C过极点.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若直线l与圆C恰好相切,求α的正切值.23．已知函数f(x)=|x-2|+|x-a|(a∈R,a>0)的最小值为2.(1)求不等式f(x)≤4的解集;(2)记(1)中不等式的解集为[α,β],若正实数x,y满足x+y=α,求的最小值.保密☆启用前（数学）答案1.B14,2.C3.B4.A5.B6.A7.A8.C9.B10.C11.A12.C13.y=014.1815.1216.495017.(1)解法一 由a=2b及正弦定理知,sinA=2sinB,则sinA=2sin(60°-A),则sinA=cosA-sinA,得tanA=.解法二 ∵c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-2×2b×b×=7b2,∴c=b,则cosA=,∴sinA=,∴tanA=.(2)由题意知S△ACD+S△BCD=S△ABC,∴bsin60°+asin60°=absin120°,则a+b=ab,∴c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2-(a+b),14,则c=.由a+b=ab,得=1,则a+b=()(a+b)=1+1+≥4,当且仅当a=b时等号成立.令a+b=t,则△ABC的周长为a+b+c=t+=t+(t≥4).易知函数y=t+在[4,+∞)上单调递增,∴当t=4,即a=b=2时,△ABC的周长取得最小值4+=4+2.∴△ABC周长的最小值为4+2.18.(1)易知△CDE为等边三角形,CE∥AB,又E为AD的中点,AD=2EC=4AB=4,所以AE=2.在△ABE中,由余弦定理得BE2=AE2+AB2-2AB·AEcos60°=3,所以BE2+AB2=AE2,所以BE⊥AB.又AB∥CE,所以BE⊥CE.又平面PCE⊥平面ABCE,平面PCE∩平面ABCE=CE,BE⊂平面ABCD,所以BE⊥平面PCE,所以BE⊥PC.(2)由(1)知BE⊥EC,所以以E为坐标原点,EB,EC所在直线分别为x轴,y轴,经过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(,-1,0),B(,0,0),P(0,1,),所以=(0,1,0),=(-,1,).设平面PAB的法向量为n2=(x,y,z),则即则y=0,令x=1,则z=1,14,所以平面PAB的一个法向量为n2=(1,0,1),易知平面ABE的一个法向量为n1=(0,0,1).故cos<n1,n2>=.易知二面角P-AB-E为锐二面角,所以二面角P-AB-E的大小为45°.19.(1)(i)非贫困村的GDP的平均值为=54(万元).贫困村的GDP的平均值为=26(万元).(ii)∵贫困村与非贫困村的抽样比为2∶3,∴该地区贫困村的个数为80,非贫困村的个数为120,∴该地区2018年度的GDP的总值约为26×80+54×120=2080+6480=8560(万元).(2)由题意及(i)知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个,则X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,∴X的分布列为X0123PE(X)=0×+1×+2×+3×.20.(1)将(1,e)代入=1,得=1,即=1,从而得1+=a2,结合a2=b2+c2,得b2=1.因为椭圆的长轴长是短轴长的两倍,所以a=2b,故a2=4.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)由(1)可知A(1,),当直线BC的斜率不存在时,易知△ABC的面积为1.14,当直线BC的斜率存在时,设其方程为y=kx,代入+y2=1,得(4k2+1)x2-4=0,从而B,C两点的坐标分别为(,k),,或(,-k),(,k),所以|BC|=.又点A到直线BC的距离d=,所以S△ABC=|k-|·==.记t=k-,则S△ABC==≤2,当且仅当=-,即k=时等号成立,故当△ABC的面积最大时,直线BC的方程为y=.21.(1)依题意得,函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-2ax-1≥0.若a≤0,则x∈(-∞,0)时,f'(x)≤ex-1<0,不符合题意.若a>0,记g(x)=ex-2ax-1,则=ex-2a,令=0,得x=ln2a,14,所以当x∈(-∞,ln(2a))时,<0,g(x),即单调递减,当x∈(ln(2a),+∞)时,>0,g(x),即单调递增,故f'(x)有最小值f'(ln(2a)).①若a=,则2a=1,从而f'(x)的最小值为=0,故f'(x)≥0,此时f(x)单调递增,符合题意.②若0<a<,则ln(2a)<0,所以x∈(ln(2a),0)时,f'(x)单调递增.又f'(0)=0,所以x∈(ln(2a),0)时,<0,f(x)单调递减,不符合题意.③若a>,则ln(2a)>0,所以x∈(0,ln(2a))时,f'(x)单调递减.又f'(0)=0,所以x∈(0,ln(2a))时,<0,f(x)单调递减,不符合题意.综上可得,若f(x)在定义域内单调递增,则实数a=.(2)由(1)知,a≤0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,从而f(x)有唯一的最小值f(0)=0,符合题意.a=时,f(x)单调递增,f(x)有唯一的零点x=0,符合题意.a>0,且a≠时,由(1)知f'(x)min=f'(ln(2a))<f'(0)=0,因为-<1-≤lnx≤x-1<x,所以-<ln(2a)<2a,所以f'(2a)=e2a-4a2-1>0(因为ex>x2+1(x>0)),=>0,故存在x1∈(-,ln(2a)),x2∈(ln(2a),2a),使得f'(x1)=f'(x2)=0.又f(0)=f'(0)=0,所以x1=0或x2=0.若0=x1<ln(2a)<x2,即a>时,因为ex>x3+x+1(x>0),14,所以f(6a)=e6a-a(6a)2-6a-1>(6a)3-36a3=36a3>0,从而f(0)=0,f(ln(2a))<0,f(6a)>0,从而f(x)有两个零点;若x1<ln(2a)<x2=0,即0<a<时,f(0)=0,f(x1)>0,f(-)=-a(-)2+-1<0,所以f(x)有两个零点.所以实数a的取值范围为{a|a≤0或a=}. 22.(1)如图,OB为圆C的直径,A(ρ,θ),则∠ABO=θ-,2sin(θ-)=ρ,化简可得圆C的极坐标方程为ρ=-2cosθ.(2)由题意知,直线l经过定点(,),由(1)知圆C的圆心的直角坐标为(-,0),半径r=,当直线l的斜率不存在,即α=时,显然不符合题意,所以直线l的斜率存在,设斜率k=tanα,则直线l的方程为y=k(x-)+,即kx-y+(1-k)=0,从而圆心C到直线l的距离d=,解得k=0或k=,即tanα=0或tanα=.所以α的正切值为0或.23.(1)若a≥2,则f(x)=显然其最小值为a-2,依题意得a-2=2,解得a=4;14,若0</ln(2a)<x2=0,即0<a<时,f(0)=0,f(x1)></ln(2a)<x2,即a></f'(0)=0,因为-<1-≤lnx≤x-1<x,所以-<ln(2a)<2a,所以f'(2a)=e2a-4a2-1></a<,则ln(2a)<0,所以x∈(ln(2a),0)时,f'(x)单调递增.又f'(0)=0,所以x∈(ln(2a),0)时,<0,f(x)单调递减,不符合题意.③若a></n1,n2></x≤4}b.{4}c.{0,4}d.{x|3≤x≤4}2．已知复数z1=在复平面内对应的点为z1,复数z2在复平面内对应的点为z2,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为a.0b.1c.-1d.-i3．已知函数f(x)=2sin(x+),则f(x)在[,1]上的单调递增区间为a.[-,]b.[-1,]c.[-1,1]d.[-,]4．已知双曲线方程为x2-=λ,则“λ=”是“双曲线离心率为2”的a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件5．在区间[0,2]上随机取两个数x,y,若事件“|y-x|≤a”发生的概率与事件“x+y≤2”发生的概率相等,则a的值为a.1b.2-c.2d.2+6．已知等比数列{an}的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q=a.2或b.c.1或-1d.17．某三棱锥的三视图如图所示,其中小正方形的边长均为1.三棱锥上的点m在俯视图上的对应点为a,点n在左视图上的对应点为b,则线段mn长度的最大值为14,a.3b.3c.9d.68．执行如图所示的程序框图,则输出的s的值为a.-b.2-c.-2-d.9．已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,点a是抛物线c上任意一点,ao(o为坐标原点)交直线x=-1于点b,af交抛物线c于另一点d,则直线bd的斜率为a.-1b.0c.1d.210．如图,在平面四边形abcd中,||=||,=2,=-2,||=||=2,若f为线段de上的动点,则·的最小值为a.1b.2c.4d.311．在棱长为2的正方体abcd-a'b'c'd'中,有一个与正方体各个面均相切的球,平面ab'd'截该球所得截面的面积为a.πb.πc.πd.2π12．已知f(x),g(x)分别为定义域为r的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=ex,若关于x的不等式2f(x)-ag2(x)≥0在(0,ln2)上恒成立,则实数a的取值范围是a.(-∞,)b.[,+∞)c.(-∞,]d.(-,0)14,第ii卷（非选择题）请点击修改第ii卷的文字说明>
