2021～2022学年高三年级期末试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2022．1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|lnx－2＜0}，则A∩B＝( )A.∅B.{1}C.{2}D.{1，2}2.已知a，b是平面内两个向量，且a≠0，则“b＝0”是“|a|＝|a＋b|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)＝sin2x＋tanx的最小正周期是( )A.B.C.πD.2π4.已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则p＝( )A.B.C.D.5.已知点A(，2)，B(1，－3)是圆C：x2＋y2＝10上两点，动点P从A出发，沿着圆周按逆时针方向走到B，其路径长度的最小值为( )A.πB.πC.πD.π6.已知(1－x)2021＝a0＋a1x＋…＋a2021x2021，则系数a0，a1，…，a2021中最小的是( )A.a0B.a1010C.a1011D.a20217.小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家电，在购买一个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款)，月利率为r.按复利计算，则小李每个月应还( )A.元B.元C.元D.元8.已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x＞0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx＞0，则下列说法正确的是( )A.f()＜－f()＜－f(－)B.－f()＜f()＜－f(－)C.－f(－)＜－f()＜f()D.－f(－)＜f()＜－f()二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为( )
A.A×AB.A×AC.A×(A)2D.C×A＋C×(A)210.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，使an＝－的n可以是( )A.2019B.2021C.2022D.202311.已知函数f(x)＝ln(x－)＋sinx＋cosx，下列说法正确的有( )A.函数f(x)是周期函数B.函数f(x)有唯一零点C.函数f(x)有无数个极值点D.函数f(x)在(，)上不是单调函数12.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3a，点M是棱BC上的定点，且BM＝2CM.点P是棱C1D1上的动点，则下列说法正确的是( )A.当PC1＝a时，△PAM是直角三角形B.四棱锥A1PAM的体积最小值为a3C.存在点P，使得直线BD1⊥平面PAMD.对任意点P，都有直线BB1∥平面PAM三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数z满足等式＋＝0，i是虚数单位，则z的模|z|＝________．14.已知α为第四象限角，且tan(α－)＝，则sinα＝________．15.已知定义域都是R的两个不同的函数f(x)，g(x)满足f′(x)＝g(x)，且g′(x)＝f(x).写出一个符合条件的函数f(x)的解析式：f(x)＝________．16.已知抛物线C1：y2＝2px的焦点与双曲线C2：－y2＝1(a＞0)的右焦点F重合，抛物线C1的准线与双曲线C2的渐近线交于点A，B.若△FAB是直角三角形，则p＝________，双曲线C2的离心率e＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)某型号机床的使用年数x和维护费y有下表所示的统计资料：x/年23456y/万年2.03.56.06.57.0
参考公式和数据：在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．(1)求x，y的线性回归方程；(2)某厂该型号的一台机床已经使用了8年，现决定当维护费达到15万元时，更换机床，请估计到第11年结束，是否需要更换机床？
18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列的前n项和Tn.19.(本小题满分12分)已知在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝13，CD＝AD，且cosB＝，∠BAD＝2∠BCD.(1)求∠BCA；(2)求AD.
20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥BPACQ中，BC⊥平面PAB，且在四边形PACQ中，PQ∥AC，∠PAC＝，二面角BAPQ的大小为，且AP＝AB＝PQ＝1.(1)求证：平面PACQ⊥平面ABC；(2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值．21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－xa(x＞0)，其中a＞1.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a≥e(e为自然对数的底数)时，求函数f(x)的零点个数，并说明理由．
22.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点坐标为F(－2，0)，离心率e＝.点A是椭圆上位于x轴上方的一点，点B(1，0)，直线AF，AB分别交椭圆于异于A的点M，N.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线MN平行于x轴，求点A的横坐标．
2021～2022学年高三年级期末试卷(常州)数学参考答案及评分标准1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9.ACD 10.AD 11.CD 12.AB13. 14.－ 15.e－x(答案不唯一) 16. 17.解：(1)x＝＝4，y＝＝5.0，x＝22＋32＋42＋52＋62＝90，xiyi＝2×2.0＋3×3.5＋4×6.0＋5×6.5＋6×7.0＝113.0.(4分)b＝＝＝1.3，a＝y－bx＝5.0－1.3×4＝－0.2，所以x，y的线性回归方程是y＝1.3x－0.2.(7分)(2)当x＝11时，y＝1.3×11－0.2＝14.1＜15，所以，估计到第11年底，不需要更换机床．(10分)18.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n＋1.所以an＝(5分)(2)当n≥2时，＝＝－，(7分)Tn＝＋＋…＋＝＋(－)＋…＋(－)＝－.(10分)当n＝1时，T1＝＝也符合．综上可得，Tn＝－.(12分)19.解：(1)在△ABC中，AB＝7，BC＝13，cosB＝，由余弦定理，得AC＝＝＝8，所以cos∠BCA＝＝＝.(3分)因为△ABC中，0＜∠BCA＜π，所以∠BCA＝.(5分)(2)因为CD＝AD，所以∠ACD＝∠CAD.设∠ACD＝∠CAD＝α，
因为∠BAD＝2∠BCD，所以∠BAC＋α＝2(∠BCA＋α)，则α＝∠BAC－2∠BCA＝(π－B－∠BCA)－2∠BCA＝－B.(7分)在△ACD中，由正弦定理，得＝，所以AD＝＝＝.因为cosB＝，且0＜B＜π，所以cosα＝cos(－B)＝sinB＝＝＝，所以AD＝＝7.(12分)20.(1)证明：因为BC⊥平面PAB，PA，AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC，PA⊥BC.因为∠PAC＝，所以PA⊥AC.又BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC.因为PA⊂平面PACQ，所以平面PACQ⊥平面ABC.(5分)(2)解：由(1)知，PA⊥平面ABC，从而PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC为二面角BAPQ的平面角，因为二面角BAPQ的大小为，所以∠BAC＝.(7分)(解法1)如图①在△ABC中，过点B作AC的垂线BD，垂足为D，连DQ.因为平面PACQ⊥平面ABC，平面PACQ∩平面ABC＝AC，BD⊥AC，BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面PACQ，所以BD⊥QD，且直线BQ与平面PACQ所成角的平面角为∠BQD.在△ABC中，AB⊥BC，∠BAC＝，AB＝1，BD为边AC上的高，所以BD＝，AD＝.在梯形PADQ中，PQ∥AD，∠PAC＝，AP＝PQ＝1，AD＝，所以QD＝.在△BQD中，sin∠BQD＝＝＝＝，所以直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值为.(12分)
图① 图②(解法2)在平面ABC内，过点A作AC的垂线AD，以{，，}为正交基底建立如图②，所示的空间直角坐标系Axyz，则点B(，，0)，Q(0，1，1)，从而＝(－，，1).因为平面PACQ的一个法向量为n＝(1，0，0)，设直线BQ与平面PACQ所成的角为α，则sinα＝|cos〈，n〉|＝||＝||＝，所以直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值为.(12分)21.解：(1)f(x)＝ax－xa，f′(x)＝axlna－axa－1，因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝alna－a＝0，解得a＝e.(3分)(2)当x＞0时，ax－xa＝0⇔－＝0，令h(x)＝－，h(a)＝0.(4分)h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝e.列表如下：x(0，e)e(e，＋∞)g′(x)＋0－g(x)增极大值减当x＝e时，h(x)的极大值为h(e)＝－.(7分)①当a＝e时，函数h(x)有且只有1个零点a＝e.此时，函数f(x)有且只有1个零点．(8分)②当a＞e时，函数h(x)在(e，＋∞)内有且只有1个零点a，且h(e)＞h(a)＝0；
因为0＜＜e，h()＝－＝－alna－＜0，又函数h(x)在区间(0，e)上单调递增，且函数h(x)的图象在区间(0，e)上是连续不间断的曲线，所以h(x)在区间(0，e)内有且只有1个零点．此时，函数f(x)有且只有2个零点．(11分)综上可得，当a＝e时，函数f(x)有且只有1个零点；当a＞e时，函数h(x)有且只有2个零点．(12分)22.解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点坐标为F(－2，0)，离心率e＝，所以c＝2，＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝42－22＝12，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(3分)(2)设A(x0，y0)，y0＞0，①若直线AF的斜率不存在，则x0＝－2，所以y0＝3，且M(－2，－3)，因为直线MN平行于x轴，由椭圆对称性可得N(2，－3)，此时kAB＝＝－1，kNB＝＝－3，不符合题意，舍去；(4分)②若直线AF的斜率存在，此时kAF＝＝，直线AF的方程为y＝(x＋2)，联立直线AF的方程与椭圆C的方程，有所以3x2＋(x＋2)2－48＝0，则[3＋]x2＋＋－48＝0，所以xM＝×＝×＝×＝，yM＝(＋2)＝×＝.(8分)因为直线MN平行于x轴，由椭圆对称性可得N(，)，(9分)又点N在直线AB上，所以＝，即＝.
因为y0＞0，所以＝，解得x0＝－，所以点A的横坐标为－.(12分)
