★秘密·2022年1月19日17：00前重庆市2022年高考第一次诊断性检测高三数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若集合，则（）A．B．C．D．3．魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（）A．B．C．8D．﹣84．已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．5．过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5高三数学试卷第27页共27页,6．在数列中，（），，则（）A．1B．3C．6D．9．7．将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）A．33B．56C．64D．788．音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（so）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、、、、、、．其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为α、β（α＞β），α称为全阶，β称为半音，则下列关系式成立的是（ ）（参考数据：lg2≈0.3010、lg3≈0.4771）A．α＝2βB．α＝β2C．|lgα﹣lgβ|＜0.01D．|lgα﹣2lgβ|＜0.01二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．的取值范围是D．的取值范围是10．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（）A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；B．当时，直线与白色部分有公共点；C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；D．若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.高三数学试卷第27页共27页,11．平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（）A．B．在方向上的投影是1C．的最大值是D．若向量满足，则的最小值是12．已知，且，则下列结论正确的是（）A．的最大值为B．的最大值为C．的最小值为D．的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设圆，若等边的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值为______.14．若的二项展开式中的常数项为，则实数a=___________.15．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为___________.16．已知函数，，若，，使得，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.（1）求弯道段所确定的函数的表达式；（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.高三数学试卷第27页共27页,18．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.19．如图，在三棱锥中，平面，，，，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.高三数学试卷第27页共27页,20．为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．高三数学试卷第27页共27页,21．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．（1）求双曲线的方程；（2）过点的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）若，是两个正数，且，证明：.高三数学试卷第27页共27页,★秘密·2022年1月19日17：00前重庆市2022年高考第一次诊断性检测高三数学答案及评分标准【命题单位：重庆缙云教育联盟】1．D【分析】根据几何模型，结合充分条件和必要条件的定义可判断.【详解】如图所示，在正方体中，若为，为，为，则，，满足，但不垂直于，故充分性不成立；若为，为，为，则，，满足，但不垂直于，故必要性不成立；故选：D2．A【分析】首先求得集合B，之后利用集合交集定义求得结果.【详解】高三数学试卷第27页共27页,因为，所以.故选：A.3．B【分析】将π＝4sin52°代入中，结合三角恒等变换化简可得结果．【详解】将π＝4sin52°代入中，得.故选：B4．A【分析】由于，，故分别对其取以为底的对数和以为底的对数，进而比较大小.【详解】解：因为，所以，即因为，所以，即所以，即.故选：A5．B【分析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，因为，所以直线的斜率为：，所以，由，解得，设点到准线高三数学试卷第27页共27页,的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为．【详解】解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程，消去得：，设，，，，，，由抛物线的性质可知：，，直线的斜率为：，，，，，抛物线方程为：，准线方程为：，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示：的最小值为3，故选：B．高三数学试卷第27页共27页,6．B【分析】由题知是公差的等差数列，进而根据等差数列通项公式求解即可.【详解】解：因为（）．所以是公差的等差数列，又，则．故选：B．7．B【分析】记分隔边的条数为,首先将方格表按图分成三个区域,,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，，否则，类似的定义，计算得到，再证明，再证明对任意均有，，最后求出分隔边条数的最小值.高三数学试卷第27页共27页,【详解】记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图：分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则，其次证明：，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，，否则，类似的定义，所以，由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而，所以所以①，由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，类似地，在列中至少有条分隔边，则②③，高三数学试卷第27页共27页,下面分两种情况讨论：1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个，故至少有行含有色的方格，于是④，由①③④得；2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，，从而由②可得；综上所述，分隔边条数的最小值为56.故选：B【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理和数列求和，考查分析推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于难题.8．D【分析】由题意先求出相邻两个音的频率比，然后利用对数的运算性质依次判断四个选即可．【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为：，，故选项A错误，选项B错误；由0.0287＞0.01，故选项C错误；|12lg3﹣19lg2|≈0.0062＜0.01，故选项D正确．故选：D．9．BD【分析】利用正弦定理角化边结合余弦定理求出，再利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式转化为C的函数，结合锐角三角形求出C的范围求范围即可【详解】高三数学试卷第27页共27页,由正弦定理得即，故B对，A错；又又锐角中解得，故故选：BD10．ACD【分析】根据几何概型的概率公式可判断A的正误；计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断B的正误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断C的正误；求出点、、、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断D的正误.【详解】对于A，设黑色部分区域的面积为，整个圆的面积为，由对称性可知，，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为，故A正确；对于B，当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，下方白色小圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，如下图所示：高三数学试卷第27页共27页,由图可知，直线与与白色部分无公共点，故B错误；对于C，黑色阴影部分小圆的方程为，设，如下图所示：当直线与圆相切时，取得最大值，且圆的圆心坐标为，半径为，可得，解得，由图可知，，故，故C正确；对于D，由于是圆中过点的直径，则、为圆与轴的两个交点，可设、，高三数学试卷第27页共27页,当轴时，取最小值，则直线的方程为，可设点、，所以，，，，所以，故D正确.故选：ACD11．ACD【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A选项；根据在方向上的投影是进行计算，即可判断B选项；设，根据题意可知，并取，从而得出动点在以为直径的圆上，设的中点为，从而得出，即可判断C选项；设，由可知故在垂线上，根据向量的加减法运算得出，过作的垂线，垂足为，可知，即可求出的最小值，从而可判断D选项.【详解】解：因为，且，则，所以，又，则，则，故A正确；高三数学试卷第27页共27页,由于在方向上的投影是，故B错误；设，由于，即，故，因为，取，则，所以，所以动点在以为直径的圆上，如图，，则，，设的中点为，的中点为，过作的垂线，则，因为，所以的最大值是，故C正确；设，因为，即，则，所以，故在垂线上，而，又是的中点，所以，则，过作的垂线，垂足为，则，又，所以，所以的最小值是，故D正确.故选：ACD.高三数学试卷第27页共27页,12．BC【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；【详解】，且，，对于A，利用基本不等式得，化简得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，，，故高三数学试卷第27页共27页,D错误；故选：BC13．4【分析】根据题意，结合三角恒等变换，以及弦的几何性质，即可求解.【详解】根据题意，可知点应在外（包括边界），如图，连接交于点，易知为的中点，且.设，则，由，可知半径，由图易知，，，因此，故当时，.故答案为：4.14．【分析】由二项式可得其展开式通项为，结合已知常数项求参数a即可.【详解】由题设，二项式展开式通项为，高三数学试卷第27页共27页,∴当，常数项为，可得.故答案为：.15．【分析】先根据正态分布概率的对称性求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】由生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，可得正态分布曲线对称轴为，所以，所以恰好有3个尺寸在区间的概率为，故答案为：.16．78【分析】根据题意可知，y＝f(x)的值域应该是y＝值域的子集，据此即可求解m﹒【详解】时，，时，，∵，，由题意可知，，∴，，∴，∴﹒高三数学试卷第27页共27页,故答案为：78．17．（1）；（2）.【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，可得抛物线方程为，即得；（2）设，利用两角和公式可得，令再利用基本不等式可得的最大值，即求.（1）如图建立平面直角坐标系，则，设抛物线的方程为，则，∴，即，∴弯道段所确定的函数；（2）设，过P作PQ⊥CD于Q，则，高三数学试卷第27页共27页,∴，令则，∴，当且仅当，即，时取等号，∴当时，最大，即最大，∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大.18．（1）；（2）.【分析】(1)根据给定条件求出数列的通项公式，在时，写出数列前n-1项和的等式，两个等式相减可得的性质，再分析计算作答.(2)在时，利用错位相减法求出，再验证是否满足即可作答.（1）因，则当时，因为，两式相减得：，即，而当时，，得，，因此，当时，数列是公比为2的等比数列，则，高三数学试卷第27页共27页,又是首项为1，公差为2的等差数列，即，于是得，所以数列的通项公式为.（2）当时，，当时，，，两式相减得则有，而满足上式，所以数列的前n项和.【点睛】方法点睛：数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．19．（1）见解析（2）【分析】（1）根据线面垂直的性质可得平面，利用勾股定理求得，再利用勾股定理即可证得；（2）证明平面，在平面中过点作轴，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得答案.（1）证明：因为平面，平面，所以，高三数学试卷第27页共27页,在中，，，则，在中，，，则，在中，，，则，在中，，，则，所以，所以；（2）解：因为，，且，所以平面，在平面中过点作轴，则，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，则，则，因为平面，所以即为平面的一条法向量，设平面的法向量，则有，可取，则，由二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.高三数学试卷第27页共27页,20．（1）26（2）【分析】（1）根据题意频率分布直方图中的矩形面积和为得样本落在的频率为，再根据频率，频数关系求解即可；（2）根据古典概型列举基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.（1）解：由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01．因此，样本落在的频率为：所以样本中用电量在的用户数为．（2）高三数学试卷第27页共27页,解：由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，则从6户中任取2户的样本空间为：，共有15个样本点．设事件“走访对象来自不同分组”，则，所以，从而．所以走访对象来自不同的组的概率为.21．（1）（2）证明见解析【分析】（1）依题意可得，，再根据，即可求出，即可得解；（2）设点，，的坐标分别为，，，且，依题意可得，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入整理即可得解；（1）解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，∴，，∵，∴，，∴双曲线的方程为．（2）解：设点，，的坐标分别为，，，且，∵，∴，即，高三数学试卷第27页共27页,即，①设直线的方程为，②将②代入中整理，得，∴，，代入①，整理可得，得，联立②消得，∴点落在某一定直线上．22．（1）（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意得，进而带入解方即可得答案；（2）根据题意，构造函数，易得函数在上单调递增，进而将问题转化为.再设，分和两种情况讨论求解即可.（1）解：，因为曲线在点处的切线方程为，所以，即，解得所以（2）解：由（1）知，令，高三数学试卷第27页共27页,所以，所以函数在上单调递增，因为，是两个正数，且所以，不妨设，当时，命题显然成立，得证.当时，令所以所以当时，，故所以函数在上单调递增，所以即，所以，因为，所以所以，因为函数在上单调递增，所以，即.综上，，证毕.【点睛】本题考查导数的几何意义，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解答的关键在于构造函数，进而将问题转化为，再分类讨论求解即可.高三数学试卷第27页共27页
