2021～2022学年高三年级期末试卷(启东、通州)数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2022．1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.()2022＝( )A.1B.iC.－1D.－i2.已知集合A＝{x}，B＝{x}，则(∁RA)∩B＝( )A.[0，2)B.[－1，0]C.(－1，0]D.(－∞，－1)3.若二项式(－)6的展开式中常数为160，则a的值为( )A.2B.－2C.4D.－44.甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是( )A.第二名、第三名的总分之和为29分或31分B.第二名的总分可能超过18分C.第三名的总分共有3种情形D.第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名5.梅森素数是指形如2p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为( )A.B.C.D.6.已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln6，则( )A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.a＜c＜b7.在正三棱锥PABC中，D是棱PC上的点，且PD＝2DC.设PB，PC与平面ABD所成的角分别为α，β，则sinα∶sinβ＝( )A.B.C.D.8.函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝( )A.4097B.4107C.5119D.5129二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是( )11
A.若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立B.已知随机变量X的方差为V(X)，则V(2X－3)＝4V(X)C.已知随机变量X服从二项分布B(n，)，若E(3X＋1)＝6，则n＝5D.已知随机变量X服从从正态分布N(1，σ2)，若P(X＜3)＝0.6，则P(－1＜X＜1)＝0.210.已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足＝，则( )A.直线BC的斜率为B.∠AOC＝60°C.△ABC的面积为D.B，C两点在同一象限11.已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则( )A.φ＝B.f(x－)是偶函数C.当x∈[－π，－]时，f(x)的最大值为1D.若f(x1)f(x2)＝2(x1≠x2)，则|x1＋x2|的最小值为π12.已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝，其中k≠0，则( )A.若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点P′(b，a)在g(x)的图象上B.当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则AB的最小值为C.当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于D.当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知单位向量a，b，c满足c＝a－b，则b·c＝________．14.若1＋＝，则α的一个可能角度值为________．15.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点与抛物线C′：x2＝2py(p＞0)的焦点F重合，P为C与C′的一个公共点．若C的离心率为，且PF＝2，则p＝________．11
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A′BDC，设三棱锥A′BDC的外接球和内切球的半径分别为r1，r2，球心分别为O1，O2.若正方形ABCD的边长为1，则＝________，O1O2＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)从以下3个条件中选择2个条件进行解答．①BA＝3，②BC＝，③∠A＝60°.在△ABC中，已知________，D是边AC的中点，且BD＝，求AC的长及△ABC的面积．11
18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，2(Sn＋Sn＋1)＝6－an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn的最大值为M，最小值为m，求M－m的值．19.(本小题满分12分)如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，且满足BC＝CD＝DA，△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点．(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求二面角ABED的余弦值．11
20.(本小题满分12分)当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争．特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击．我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科技研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利．(1)在研发过程中，对研发时间x(月)和该产品的厚度y(nm)进行统计，其中1～7月的数据资料如下：x(月)1234567y(nm)99994532302421现用y＝a＋作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少？(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线．现有以下两种售卖方案可供选择：①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖．已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元．请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学？并说明理由．参考公式和数据：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝βu＋α中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为设z＝，zi＝，z－＝0.37，y－＝50，11
21.(本小题满分12分)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，直线l交C于A，B两点．(1)若线段AB的中点为(－1，3)，求l的方程；(2)若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为，求C的方程．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinx＋tanx－ax2－2x.(1)当a＝0时，试判断并证明f(x)在(－，)上的单调性；(2)当x∈(0，)时，f(x)＞0，求实数a的取值范围．11
2021～2022学年高三年级期末试卷(启东、通州)数学参考答案及评分标准1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.D 8.B 9.BC 10.ABD 11.AC 12.ACD13.－ 14.50°(答案不唯一) 15.3 16.2－ 2－17.解：选①②：由D是边AC的中点，可得＝(＋)，所以2＝(2＋2＋2·).(2分)因为BA＝3，BC＝，BD＝，所以7＝(9＋7＋2×3×cos∠ABC)，解得cos∠ABC＝.(4分)在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos∠ABC，即AC2＝9＋7－2×3××＝4，所以AC＝2.(7分)又sin∠ABC＝，所以△ABC的面积S＝×3××＝.(10分)选①③：在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA，设AD＝CD＝x，因为BA＝3，BD＝，∠A＝60°，可得7＝9＋x2－2×3xcos60°，(4分)解得x＝1或x＝2，所以AC＝2或AC＝4.(6分)当AC＝2时，△ABC的面积S＝×3×2×＝；当AC＝4时，△ABC的面积S＝×3×4×＝3.(10分)选②③：设AD＝CD＝m，AB＝n，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA，(4分)因为BC＝，BD＝，∠A＝60°，所以解得m＝1，n＝3，即AC＝2，AB＝3.(8分)所以△ABC的面积S＝×3×2×＝.(10分)18.解：(1)由2(Sn＋Sn＋1)＝6－an＋1，得n≥2时，2(Sn－1＋Sn)＝6－an，两式相减，得2(an＋an＋1)＝－an＋1＋an(n≥2)，所以3an＋1＝－an，即＝－(n≥2).(3分)11
因为a1＝2，2(a1＋a1＋a2)＝6－a2，解得a2＝－，所以＝－，所以＝－(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为－的等比数列．所以an＝2×(－)n－1.(6分)(2)由(1)可得Sn＝＝×[1－(－)n].(8分)当n为偶数时，Sn＝×[1－()n]，≤Sn＜；当n为奇数时，Sn＝×[1＋()n]，＜Sn≤2，当n＝2时，Sn取最小值，当n＝1时，Sn取最大值2，所以M－m＝2－＝.(12分)19.(1)证明：取PB的中点F，连接EF，FC，DC，OC，OD.因为＝＝，所以∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°.因为OA＝OD＝OC＝OB，所以BC＝DC＝OD＝OB，所以四边形ODCB是平行四边形，所以DC∥OB.(2分)因为E为PA的中点，F为PB的中点，所以EF∥OB，且EF＝OB，所以EF∥DC，EF＝DC，所以四边形EFCD是平行四边形，所以DE∥CF.(4分)因为DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.(6分)(2)解：连接OP，在半圆O内过O作AB的垂线OG.因为△PAB为等边三角形，O为AB的中点，所以OP⊥AB.因为平面PAB与半圆O所成二面角的大小为90°，平面PAB∩半圆O＝AB，所以OP⊥半圆O，所以OP⊥OA，OP⊥OG.所以以{，，}为一组基底建立如图所示的平面直角坐标系Oxyz.11
设AB＝2，则B(－1，0，0)，E(，0，)，D(，，0)，所以＝(，0，)，＝(，，0).(8分)设平面BDE的法向量n1＝(x，y，z)，则n1⊥，n1⊥，所以取x＝1，则y＝z＝－，即n1＝(1，－，－).(10分)取平面ABE的一个法向量n2＝(0，1，0)，则cos〈n1，n2〉＝＝－.因为二面角ABED为锐二面角，所以二面角ABED的余弦值为.(12分)20.解：(1)＝＝100，(2分)a＝y－－bz－＝50－100×0.37＝13，所以y＝13＋100z，所以y关于x的回归方程为y＝13＋.(4分)所以可以估计该产品的“理想”优良厚度约为13nm.(5分)(2)方案①，3条生产线的卖价共为X＝15万元；方案②，设3条生产线的卖价共为Y万元，则Y的取值可能为0，20，40，60万元．(7分)P(Y＝0)＝()3＝，P(Y＝20)＝C()()2＝，P(Y＝40)＝C()2()＝，P(Y＝60)＝()3＝，所以E(Y)＝0×＋20×＋40×＋60×＝45(万元).(10分)因为E(Y)－20＝25＞X，所以该企业应选择方案②售卖更为科学．(12分)21.解：(1)因为双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，所以＝，即a2＝b2，(2分)所以双曲线C的方程为3x2－y2＝b2.显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m，联立方程组消y得(3－k2)x2－2kmx－(m2＋b2)＝0.11
由得(*)(4分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB的中点为(－1，3)，则解得k＝－1，m＝2，符合(*)式，所以l的方程为y＝－x＋2.(6分)(2)①当直线l的斜率存在时，由(1)知，由以线段AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB，即·＝x1x2＋y1y2＝0，所以x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，即＝＝0，所以2m2＝(k2＋1)b2.(8分)因为O到l的距离为＝＝，所以b2＝3，所以C的方程为x2－＝1.(10分)②当直线l的斜率不存在时，根据对称性知，△OAB为等腰直角三角形，不妨设A(，)，代入3x2－y2＝b2，得b2＝3，所以C的方程为x2－＝1.综合①②可知，C的方程为x2－＝1.(12分)22.解：(1)当a＝0时，f(x)＝sinx＋－2x，所以f′(x)＝cosx＋－2.(1分)因为x∈(－，)，所以cosx∈(0，1]，于是f′(x)＝cosx＋－2≥cos2x＋－2≥0(等号当且仅当x＝0时成立).所以函数f(x)在(－，)上单调递增．(4分)(2)令p(x)＝sinx－x，则p′(x)＝cosx－1.当x∈(0，)时，p′(x)＜0，所以p(x)在(0，)上单调递减．又p(0)＝0，所以p(x)＜0，故x∈(0，)时，sinx＜x.(*)(6分)11
①当a≤0时，f(x)≥sinx＋tanx－2x，由(1)得f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)＝0，所以f(x)＞0.(8分)②(解法1)当a＞0时，f(x)＝sinx＋tanx－2x－ax2＜tanx－x－ax2.令g(x)＝tanx－x－ax2，则g′(x)＝tan2x－2ax，所以g′(x)＜－2ax＝(x－2acos2x).令h(x)＝x－2acos2x，得h′(x)＝1＋4acosxsinx＞0，所以h(x)在(0，)上单调递增．又h(0)＜0，h()＞0，所以存在t∈(0，)使得h(t)＝0，即x∈(0，t)时，h(x)＜0，所以x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．又g(0)＝0，所以g(x)＜0，即x∈(0，t)时，f(x)＜0，与f(x)＞0矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是(－∞，0].(12分)(解法2)当a＞0时，f(x)＝sinx(1＋)－ax2－2x＜x(－ax－1).当a≥1时，f(1)＜－a－1＜－a－1＝1－a≤0，不符合题意；当0＜a＜1时，cosa＞cos1＞，于是f(a)＜a(－a2－1)＝(1－cosa－a2cosa).而1－cosa－a2cosa＝2sin2－a2cosa＜－a2cosa＝a2(－cosa)＜0，所以f(a)＜0，不符合题意．综上，满足条件的m的取值范围是(－∞，0].(12分)11
