石景山区2021—2022学年第一学期高三期末试卷数学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．设集合，，则A．B．C．D．2．已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设函数，则是A．奇函数，且在单调递增B．奇函数，且在单调递减C．偶函数，且在单调递增D．偶函数，且在单调递减4．将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和，若，，则A．36B．45C．63D．756．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是[17.5，30]，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间
不少于22.5小时的人数是A．56B．60C．120D．1407．若，，则A．B．C．D．8．在△中，若，则A．B．C．D．9．设是首项为的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，给出下列三个结论：①②△的面积与△的面积相等③三棱锥的体积为定值其中，所有正确结论的个数是A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知向量，若，则_________．12．双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．13．设函数则使得成立的的取值范围是________．14．若点关于轴的对称点为，则的一个取值为________．15．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大
圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线．有如下结论：①曲线上任意两点间距离的最大值为；②曲线的周长大于曲线的周长；③曲线与圆有且仅有个公共点．其中正确的序号为________________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题13分）已知函数，，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）在区间上的最小值．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．（本小题14分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面为直角三角形，，．（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，，，判断在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为．18．（本小题13分）某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束．类问题回答正确得分，否则得分；类问题回答正确得分，否则得分．己知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为，能正确回答类中的每一个问题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（Ⅰ）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（Ⅱ）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．19．（本小题15分）已知椭圆，为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆在轴上的两个顶点为，点满足，直线交椭圆于
两点，且，求此时的大小．20．（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）求证：当≤时，≥．21．（本小题15分）记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（Ⅰ）已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由；（Ⅱ）已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；（Ⅲ）若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．
石景山区2021-2022学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案CAADBDDCBC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．11．；12．，；13．；14．（答案不唯一）；15．①③．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题13分）解：选条件①：；（Ⅰ），所以的最小正周期是．………………7分（Ⅱ）因为，所以≤≤，所以≤≤，
所以≤≤，当，即时，有最小值．………………13分选条件②：．（Ⅰ），所以最小正周期是．………………7分（Ⅱ）因为，所以≤≤，所以≤≤，当，即时，有最小值．………………13分17．（本小题14分）解：（Ⅰ）因为四棱锥中，，所以，因为，，所以．………………4分（Ⅱ）因为，，所以，又因为，所以，因为，，所以．………………9分（Ⅲ）存在，当为线段中点时，理由如下：由（Ⅱ）可知，因为，，所以，又，，如图以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．设平面的法向量为，由得令，所以．设（≤≤），则，所以，直线与平面所成角为，所以，解得，符合题意，所以当为线段中点时，直线与平面所成角的大小为．………………14分18.（本小题13分）解：（Ⅰ）由题可知，的所有可能取值为，，．；；．所以的分布列为………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．；；，所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．………………13分19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为右焦点为，所以，因为离心率，所以，，所以椭圆的方程为．………………5分（Ⅱ）当直线垂直于轴时，（舍）．当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由整理得，设，由题意恒成立，所以，，，解得，所以直线的方程为．因为为椭圆在轴上的两个顶点，不妨设，因为，设，所以，即，即点在以原点为圆心，半径为的圆上．法一：因为原点到直线的距离，所以直线与圆相切，所以．
法二：联立解得即，或解得即，因为，所以．………………15分20.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，所以曲线在点处的切线方程为.………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，（）因为，令，所以或，当时，，则的变化情况如下表：极大值极小值当时，，则恒成立，在内恒增；当时，，则的变化情况如下表：极大值极小值
综上，当时，单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当时，单调递增区间是和，单调递减是.………………10分（Ⅲ）当时，令，得或，易知则的变化情况如下表：极小值极大值所以当时，取得极小值由于，则，，，所以由极小值定义及的单调性可知：当时，.接下来，研究在的变化情况.因为恒成立，设对称轴，，所以由二次函数的性质可知：当时，恒成立所以在时恒成立.综上所述：当时，.………………15分21.（本小题15分）解：（Ⅰ）数列是“趋势递减数列”.因为是单调递减数列，，且.所以数列是“趋势递减数列”.
数列是“趋势递减数列”.因为，且.所以数列是“趋势递减数列”.………………4分（Ⅱ）当时，数列为单调递增数列，此时，且不满足题意；当时，数列为常数列，不满足题意；当时，数列为单调递减数列，此时，且，满足题意；当时，此时，且，满足题意；当时，此时，且，不满足题意；综上，的取值范围为.………………9分（Ⅲ）先证必要性：假设存在正整数≥使得，，令.因为，为正实数，且所以≥，故≥，则数列从开始以后的各项为，当≥时，与为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，的项中没有.再证明充分性：得，因为的项中没有，所以对于任意正整数，，于是，所以.当时，，当时，，
所以为“趋势递减数列”.综上：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.……………15分
