2019级高三模拟考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.参考公式：圆柱侧面积圆锥侧面积圆台侧面积球表面积一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则图中阴影部分所表示集合为（）A.B.C.D.【答案】C2.复平面内表示复数的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A3.若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（）
A.8B.4C.2D.【答案】A4.已知角的终边经过点，则角可以为（）A.B.C.D.【答案】D5.已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（）A.8B.10C.12D.16【答案】C7.已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C8.PQ为经过抛物线焦点的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直于l于M，QN垂直于l于N，PQ绕l一周所得旋转面面积为，以MN为直径的球面积为，则（）A.B.C.D.【答案】C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.经研究，变量y与变量x具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为，下列正确的是（）x247101522y8.19.41214.418.524A.变量y与x呈正相关B.样本点的中心为（10，14.4）C.D.当时，y估计值为13【答案】AB10.已知函数，则（）A.函数的图象关于y轴对称B.时，函数的值域为C.函数图象关于点中心对称D.函数的最小正周期是8【答案】BCD11.已知曲线，则（）A.曲线C关于原点对称B.曲线C上任意点P满足（O为坐标原点)C.曲线C与有且仅有两个公共点D.曲线C上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）【答案】BC12.已知球O的半径为4，球心O在大小为60°的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体的体积为V，则正确的是（）A.O，E，，四点共圆B.
C.D.V的最大值为【答案】ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为__________．【答案】14.已知数列是正项等比数列，函数两个零点是，，则______.【答案】15.设函数，已知，且，若的最小值为e，则a的值为______.【答案】##16.已知向量，，，则______.【答案】四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求角A；（2）若，求△ABC的面积.【答案】（1）；（2）.18.已知数列的前n项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项的和.【答案】（1），（2）19.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，，，，，E是边AD的中点，异面直线PA与CD所成角为.（1）在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，并说明理由；（2）若二面角P—CD—A的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（1）在平面PAB内存在一点M，为AB，CD延长后的交点，使得直线CM//平面PBE（2）20.春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
（1）估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若，则，，.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）21.已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）令，若是极大值点，求实数a值.【答案】（1）证明见解析；（2）.22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P
为椭圆上一动点，面积的最大值为2.（1）求椭圆E的方程；（2）若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点.证明：为定值；（3）平面内到两定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆上，求的最小值.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
