唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z在复平面内对应的点为，则（）A.B.C.D.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.2∶34.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（）A.B.C.D.5.已知向量，，，则与的夹角为（）A.45°B.60°C.120°D.135°6.已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（）A.B.C.D.27.已知函数的图象关于点对称，则（）A.-3B.-1C.1D.38.在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，，，则（）A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.有一组互不相等的数组成的样本数据，，…，，其平均数为a（，，2，…，9），若插入一个数a，得到一组新的数据，则（）A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的中位数相同C.两组样本数据的方差相同D.两组样本数据的极差相同10.设函数，则（）A.在上单调递增B.在内有6个极值点C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位，可得的图象11.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，，则（）A.为定值B.为定值C.为定值D.为定值12.已知，，，为函数的零点，，下列结论中正确的是（）A.B.C.若，则D.a的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数若，则________.14.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则________.
15.为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.附：若随机变量X服从正态分布，则.16.己知，，是圆上的动点，当最大时，________；的最大值为________.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.（1）证明：；（2）若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.18.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.（1）若，求b；（2）若D为的中点，且，求的面积.19.（12分）甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制?20.（12分）如图，直三棱柱中，，D为的中点，E为棱
上一点，.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为30°，求直线与平面所成角的正弦值.21.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：.22.（12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点为，，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线与直线l交于点R.
证明：点R在定直线上.唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学参考答案一、选择题：1-5：BCADD6-8：BCC二、选择题：9.AD10.BC11.ABD12.ACD三、填空题：13.114.15.1916.1，（第一空2分，第二空3分）四、解答题：（若有其他解法，请参照给分）17.解：（1）因为①所以②②-①得，因为，所以（2）由得，于是，由得的公比.所以，.由得由得，因此18.解：（1）因为，所以在中，由正弦定理得，
即.（2）在中，由余弦定理得.①因为D为的中点，所以.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.由得.②联立（1）（2）可得，即.19.解：（1）因为是五局三胜制，所以的可能取值为3，4，5.；；；则的分布列为345P0.280.37440.3456由上述可知，进行四局比赛的可能性最大.（2）作为领队希望己方获胜，故需比较两种赛制下甲队获胜概率的大小.若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为；因为，所以作为甲队领队，希望采用五局三胜制.20.解：（1）证明：在直三棱柱中，底面，底面，则；
又，，平面，平面，于是平面，又平面，故.由直三棱柱知底面，底面，则，又因为，平面，平面，故平面.（2）由（1）知，又D为中点，故.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，.设，则.由（1）知平面的法向量可取.设平面的法向量，因为，，所以取.由题设得，即，解得.此时，.设与平面所成角为，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.
21.解：（1）的定义域为，.当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在和上单调递减，在上单调递增.（2）令，，则，所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以的最大值为，即，从而，所以.又，所以，等号当且仅当时成立故.22.解：（1）由题意知，
解得，故椭圆C的方程为.（2）设，，则.直线l的方程为，其中，且，将代入椭圆，整理得，由与韦达定理得，，.由（1）可知，，设，由，P，Q三点共线，得，由，N，Q三点共线，得，则于是直线的斜率为，直线的方程为，
联立解得.即点R在定直线上.
