2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟(天津卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：如果事件与事件互斥，那么．如果事件与事件相互独立，那么．球的表面积公式，其中表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则（ ）A．B．C．D．【解析】.因为，，所以.故选：D2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由解得，设
由解得或,设或由Ü,则“”是“”的充分不必要条件，故选：A3．函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．【解析】函数定义域是，，函数为偶函数，排除AB，又时，，排除D.故选：C．4．在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在之间的学生人数是（ ）A．150B．200C．250D．300【解析】由频率分布直方图，，，所以得分在之间的频率为，人数为．故选：B．5．已知，，，则、、的大小关系为（ ）A．B．C．D．
【解析】，，由为上增函数，可知，即，故选：D6．设P，A，B，C为球O表面上的四个点，，，两两垂直，且，，三棱锥的体积为18，则球O的体积为（ ）.A．B．C．D．【解析】，，，是球表面上的四个点，，，两两垂直，则球的直径等于以，，长为棱长的长方体的对角线长，因为，，三棱锥的体积为18，所以，即，所以，所以，所以，故球的体积，故选：D7．若，且，则（ ）A．B．C．D．【解析】因为，于是得，，又因为，则有，即，因此，，而，解得，所以.故选：D8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解析】由，，由双曲线的定义知，，设，，易得，化简得：，同时除以，
则，求出或（舍去）.故选：C.9．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．【解析】当时，，则，等式两边平方得，整理得，所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，直线过定点，当直线过点时，则，可得；当直线与圆相切，且切点位于第四象限时，，此时，解得．由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点．因此，实数取值范围是．故选：B．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．若为虚数单位，复数=______.【解析】设.11．在的展开式中，x的系数是___________（用数字作答）.【解析】的展开式的通项为：，当，即时，展开式x的系数为：.当显然不成立；故答案为：24012．经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则的值为______.【解析】由已知条件得设直线的方程为，圆：的圆心为，半径为，由勾股定理得圆心到直线的距离为，即圆心为到直线的距离为，解得或.故答案为：或.13．已知，，则的最小值为______.【解析】因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为214．甲乙两队参加普法知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，，且各人正确与否相互之间没有影响，则乙队至少得一分的概率为____________，用表示甲队的总
得分随机变量的数学期望为___________.【解析】乙队得零分的概率为，所以乙队至少得一分的概率为，由题意可得可能的取值为，，，，，所以，故答案为：；.15．在菱形ABCD中，，，E，F分别为线段BC，CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则x=___________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为___________.【解析】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图所示：则，，，，，由题知，，且，设，则，由，则，解得，，设，，，则，则三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，的面积为.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【解析】(1)∵，∴由正弦定理得，又的面积为，∴，解得，∴；(2)由余弦定理有，∴.由正弦定理.(3)∵B＝150°，∴A＜90°，∴由sinA＝得，，∴，.∴.17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.(1)证明：若，直线平面；(2)求二面角的正弦值；(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.【解析】(1)
如图所示，在线段上取一点，使，连接，，，，又，，，四边形为平行四边形，，又，，所以平面平面，平面，平面；(2)如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，又是中点，则，所以，，，设平面的法向量，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，则二面角的正弦值为；(3)存在，或，假设存在点，设，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，则，，则，，
解得或，故存在点，此时或.18．（本小题满分15分）已知椭圆C：的焦距为，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q在椭圆C上，且与x轴平行，过P作两条直线分别交椭圆C于A，B两点，直线平分，且直线过点，求四边形的面积．【解析】(1)因为椭圆C：的焦距为，所以，又椭圆经过点，所以，因为，解得，所以椭圆方程为：；(2)因为Q在椭圆C上，且与x轴平行，所以,因为直线过点，且斜率存在，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得，设，则，因为与x轴平行，且直线平分，所以，即，整理得，将韦达定理代入化简得，解得，所以，则，所以四边形的面积是.19．（本小题满分15分）已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；
(2)若），求数列的前n项和；(3)若数列满足（且），且，证明.【解析】(1)设等比数列的公比为，前n项和为.由题意，得，即，解得，或（舍）.由，得，解得.∴.(2)由（1）可得，.∴.两式相减得，.∴.(3)由（1）可得，，即.∴，，…，.以上各式相加得，.又，∴.当时，适合上式.故.∴.∴.20．（本小题满分16分）设函数有两个极值点，且(1)求a的取值范围;(2)讨论的单调性；(3)证明:【解析】(1)，令，其对称轴为，
由题意知是方程的两个均大于的不相等实根，所以，解得，所以a的取值范围为；(2)当时，，所以在区间上为增函数； 当时，，所以在区间上为减函数；当时，，所以在区间上为增函数；(3)证明：由（1）知，，，设，则，当时，，所以在单调递增，所以，即．
