湖南省常德市2022届高三数学模拟试卷及解析

科目：数学(试题卷)注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不留痕迹；回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．本试卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负．4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回．姓名准考证号祝你考试顺利！ 2022年常德市高三年级模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．221.已知集合A{xZ|x1},Bxxmx20，若AB{1}，则ABA．{1,0,1}B．{x|1x1}C．{1,0,1,2}D．{x|1x2}2.若复数z满足z(1i)2i，则复数z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设S为等比数列{a}的前n项和，若a4，SS2，则ann43211A．B．1C．2D．224.已知直线l:ax4y30，l:xay10，则“a2”是“l//l”的1212A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件sin(x)5.函数f(x)的图象大致是xxeeyyyyOxOxOxOxABCD22xy6.已知双曲线C:1(a0,b0)的焦点F到渐近线的距离等于双曲线的实轴22ab长，则双曲线C的离心率为75A．5B．2C．D．2227.已知(,)，cos24sinsin，则tan232A．B．C．3D．2234数学试题第1页(共4页) 8.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则A．事件A与B相互独立B．事件A与C相互独立55C．P(B|A)D．P(C|A)1212二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)2sin(2x)，则3A．函数f(x)的周期为B．函数f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最大值为2D．函数f(x)在区间(0,)上单调递增210.下列不等式一定成立的是1.31.2A．log1.3log1.2B．0.70.71.11.1111C．x2D．422xsinxcosx211.已知抛物线C:y2px(p0)的焦点F到准线l的距离为2，则A．焦点F的坐标为(1,0)B．过点A(1,0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点C．直线xy10与抛物线C相交所得弦长为822D．抛物线C与圆xy5交于M,N两点，则MN412.如图所示，三棱锥PABC中，ACBC,ACBCPC1，D为线段AB上的动点(D不与A,B重合)，且ADPD,则A．PACDB．DPC45C．存在点D，使得PABC2D．三棱锥PBCD的体积有最大值24三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知平面向量a//b，a(1,2)，b(3,t)，则|b|_________.14.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,4)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为_________.2（附：若随机变量服从正态分布N(,)，则P()0.6827，P(22)0.9545）15.已知A,B,C,D是球O的球面上的四点，BD为球O的直径，球O的表面积为16，且ABBC，ABBC2，则直线AD与平面ABC所成角的正弦值是_________.16.设函数f(x)x(x1)(x2m)的两个极值点为x,x，若f(x)f(x)0，则实1212数m的取值范围是_________.数学试题第2页(共4页) 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ac2bcosC．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)已知b3，若D为ABC外接圆劣弧AC上一点，求ADDC的最大值．18．(本小题满分12分)2*设各项非负的数列a的前n项和为S，已知2San(nN)，且a,a,a成nnnn1235等比数列．(Ⅰ)求a的通项公式；na1n(Ⅱ)若b，数列{b}的前n项和T.nann2n19．(本小题满分12分)为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区10万人中随机抽取了200人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按0,20，20,40，40,60，60,80，80,100分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示.同时发现这200人中有120人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于60的有80人.(Ⅰ)填写下面的22列联表，判断是否有95%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”.指标值小于60指标值不小于60合计有抗体没有抗体合计(Ⅱ)以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，求产生抗体的人数X的分布列及期望.22n(adbc)附：K，其中n＝a＋b＋c＋d.(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828数学试题第3页(共4页) 20．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCABC的底面是等边三角形，平面ABBA平面ABC，11111ABAB，AC2，AAB60，O为AC的中点.11(Ⅰ)求证：AC平面ABO；127(Ⅱ)试问线段CC是否存在点P，使得二面角POBA的平面角的余弦值为，117CP若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由.CC121．(本小题满分12分)已知M(x,0),N(0,y)两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|3，若动点G满足00NG2GM，设动点G的轨迹为曲线E．(Ⅰ)求曲线E的方程；(Ⅱ)过点G作直线MN的垂线l，交曲线E于点P(异于点G)，求PMN面积的最大值．22．(本小题满分12分)ln(ax)已知函数f(x)elnx（e2.71828......是自然对数底数）.x(Ⅰ)当ae时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当ae时，证明：f(x)(a1)e.数学试题第4页(共4页) 2022年常德市高三年级模拟考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CDAACABD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACADACDABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．61113．3514．0.135915．16．(,1)(,)342三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)法一：2ac2bcosC,由正弦定理得：2sin(BC)sinC2sinBsinC..............................................................................2分2(sinBcosCsinCcosB)sinC2sinBsinC1sinC0,cosB,又0B,B...................................................5分23法二：2ac2bcosC，由余弦定理得：222abc22222ac2b2aacabc,2ab222acbac...........................................................................................................3分222acb1cosB0BB.......................................................5分2ac232(Ⅱ)由(Ⅰ)知，B，而四边形ABCD内角互补，则ADC，33法一：设DAC,则DCA,由正弦定理得：3数学参考答案第1页(共6页) ADDCAC23...............................................................................7分sin2sin()sin33AD23sin(),DC23sin，3ADDC23sin()23sin，3=3cos3sin23sin（）233当且仅当ADDC3时，ADDC的最大值为23.........................................10分2法二：在ADC中，ADC，AC3，由余弦定理得：32222ACADDC2ADDCcos...........................................................................7分322(ADDC)(ADDC)9ADDC94ADDC23,当且仅当ADDC3时，ADDC的最大值为23.........................................10分18.(本小题满分12分)2解：(Ⅰ)当n1时，2aa1......................................................................................1分1222当n2时，2San①，2Sa(n1)②.nn1n1n22222①－②得2aaa1，即aa2a1(a1)nn1nn1nnna0,aa1......................................................................................................3分nn1n数列a从第2项起是公差为1的等差数列naan2(n2).....................................................................................................4分n222又a,a,a成等比数列，aaa，即(a1)a(a3)235325222解得a1，a1n2n1(n2)2n22aa1，a0，适合上式121数列a的通项公式为an1.................................................................................6分nnn(Ⅱ)b........................................................................................................................7分nn12数列{b}的前n项的和为n123n1nT③n012n2n122222数学参考答案第2页(共6页) 1123n1nT④n123n1n222222③－④得1111nT1+..................................................................................9分n2n1n222221n1()2n1nn22212n2n12n2n12n2T4.............................................................................................................12分nn1219.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，(0.0250.005)20200120样本中指标值不小于60的人数为标值小于60的人数为80.................................................................................................1分22列联表如下：指标值小于60指标值不小于60合计有抗体4080120....................3分没有抗体404080合计8012020022200(80404040)50K5.5563.84180120801209所以有95%的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于60有关”.......5分1203(Ⅱ)注射疫苗后产生抗体的概率p=...............................................................6分20053由题可知，X~B(4,)5k3k24kP(Xk)C()()(k0,1,2,3,4)455X的分布列为：X01234812162169616P625625625625625........................10分3E(X)np42.45...............................................................................................12分数学参考答案第3页(共6页) 20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)证明：因为ABC是等边三角形，O为AC的中点，ACOB...........1分又平面ABBA平面ABC，平面ABBA平面ABCAB，ABAB11111AB面ABC...............................................................................................................3分1又AC面ABC，ABAC1又ACOB，ABOBB，1AC平面ABO...........................................................................................................5分1(Ⅱ)解：存在线段CC的中点P满足题意.......................................................................6分1证明：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0),B(0,3,0),C(1,0,0)，A(1,0,0),A(0,3,23)...........................................7分1设CPtCCtAA(t,3t,23t)11则OPOCCP(1t,3t,23t)，而平面AOB的法向量为n(1,0,0)，1设平面POB的法向量为m(x,y,z)，mOB0y0，得，mOP0(1t)x3ty23tz01t不妨设x1，则可取m(1,0,).......................................................................10分23t|nm|271271|cosn,m|，，解得：tnm7(1t)2721212tCP1CP1此时，所以存在点P满足题意，且...........................................12分CC2CC21121.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设G(x,y)，则NG(x,yy),GM(xx,y)003x2(x0x)x0xNG2GM，，解得2...........................................2分yy2y0y3y022又|MN|3，xy9.........................................................................................3分00229x2x29y9，即y1442x2曲线E的方程为y1.........................................................................................5分4数学参考答案第4页(共6页) (Ⅱ)由题设直线l垂线MN且与E交于G、P两点，故直线l的斜率存在且不为0设直线l：ykxt，G(x,y),P(x,y)1122ykxt222联立x2，消y化简得(4k1)x8ktx4(t1)02y1422222264kt16(4k1)(t1)16(4kt1)028kt4(t1)xx,xx..........................................................................7分1221224k14k12222241k4kt1|GP|1k(x+x)4xx=..................................8分121224k13x0x1y02y1x1由(Ⅰ)知2，kMN，k①xx2yy3y01101直线l过点G，ykxt②1122点G在曲线E上，x4y4③11222x144y1121由①②③得，k1，即y222124y4yyk11112222x12y1x16y142224tykxy3y，即t9y121111122y2y2yyy11111292t4k8................................................................................................10分2k12229229k41k4k(4k8)141k22k1k1|GP|224k14k112|k|1212342111k4|k|24|k||k||k|15当且仅当k时，等号成立；此时t25119S|MN||GP|33PMN2229所以PMN面积的最大值为.................................................................................12分2数学参考答案第5页(共6页) 22.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题可知函数f(x)的定义域为(0,)，lnexlnxexae时，f(x)elnx，f(x)......................................1分2xx1令h(x)lnxex，则h(x)e0，h(x)单调递减.........................2分x1h()0.....................................................................................................................3分e11当0x时，h(x)0，f(x)0；当x时，h(x)0，f(x)0；ee11所以函数f(x)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,)...................5分ee1lnaxe1lnaxex(Ⅱ)证明：f(x)，22xxx1令(x)1lnaxex，则(x)e0，(x)单调递减...................6分x1e1a()10，()ln0.................................................................7分aaee11x(,)有(x)0，即1lnaxex0............................................8分0000aex(0,x)时，(x)0，f(x)0，f(x)单调递增；0x(x,)时，(x)0，f(x)0，f(x)单调递减；0所以函数f(x)在xx时有极大值，0lnax10则f(x)f(x)elnxeelnx............................................10分000xx00111函数r(x)elnx在x(,)单调递减，xae1r(x)r()aeelna，0a要证f(x)(a1)e，即证aeelna(a1)e，即证(1e)aelna0..........................................................................................11分令F(a)(1e)aelna，（ae），eF(a)1e2e0，则F(a)单调递减，a2F(a)F(e)(1e)ee2ee0，所以(1e)aelna0成立，即f(x)(a1)e得证.....................................12分数学参考答案第6页(共6页)