长沙市一中2022届高三月考试卷（八）数学时量：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是符合题目要求的.1.若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】A2.已知集合M={1，2，3}，，若，则a的值为（）A.1B.2C.3D.1或2【2题答案】【答案】C3.袋中装有大小相同的四个球.四球上分别标有数字“2”、“0”、“2”、“2”，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列的概率为（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】D4.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可
循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）小时.A.B.C.D.【4题答案】【答案】C5.已知p，q为正实数且，则的最小值为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】A6.第24届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区.甲、乙、丙、丁、戊五名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者的方法数为（）A.150B.100C.92D.64【6题答案】【答案】B7.已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（）A.B.C.D.【7题答案】【答案】D
8.已知，，，则的大小关系为（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】B【点睛】关键点点睛：本题的关键是换底公式的应用，关键是利用换底公式，变形，比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设，，为复数，下列命题中错误的是（）A.B.C.若，则为纯虚数D.若，且，则【9题答案】【答案】AC10.下列命题中，真命题有（）A.“”是“”的必要不充分条件B.“若，则x，y中至少有一个大于3”的否命题C.R，D.命题“，”的否定是“，”【10题答案】【答案】AC11.已知为常数，函数，若函数恰有四个零点，则实数的值可以是（）
A.B.C.D.【11题答案】【答案】AC12.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（）A.180B.108C.75D.63【12题答案】【答案】D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面直角坐标系中，从点出发，依次按向量移动，则终点坐标为________.【13题答案】【答案】14.已知函数的图象关于直线对称，则m的最大值为___________.【14题答案】【答案】##15.若圆：上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是___________.【15题答案】【答案】16.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=9，AA1=10，过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分，且分别与棱DD1，CC1交于点H，M.
（1）若DH=DC=9，则三棱柱ADH−BCM外接球的表面积为________；（2）现同时将两个球分别放入被平面分成的两部分几何体内.在平面变化过程中，这两个球半径之和的最大值为________.【16题答案】【答案】①.②.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且.（1）求角C的大小；（2）若，点D为AB边的中点，CD=，求的值.【17~18题答案】【答案】（1）；（2）.18.若数列满足：对，都有（常数），则称数列是公差为d的“准等差数列”.（1）数列中，，对，都有.求证：数列为“准等差数列”，并求其通项公式；（2）数列满足：.将（1）中数列中的项按原有的顺序插入到数列中，
使与之间插入项，形成新数列.求数列前100项和.【18~19题答案】【答案】（1）证明见解析，（2）19.如图，已知在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D，E分别在CC1与AA1上，AE＝2，CD＝1．（1）在线段BE上找一点P使得DP⊥平面ABB1A1，并写出推理证明过程；（2）求二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值．【19题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）．20.冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）（1）求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s；（2）假设高三学生体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的
估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，.【20~22题答案】【答案】（1），；（2）合格；（3）.21.平面内两定点F1（，0），F2（，0），点O为坐标原点，动点P满足F2P的中点E在⊙O：上，点Q在F1P上且.（1）求动点Q的轨迹C的方程；（2）过点D（3，0）分别作两条直线与轨迹C交于点A，点B.线段DA的中点为M，线段DB的中点为N，若OM⊥ON，求证：直线AB过定点.【21~22题答案】【答案】（1）（2）证明见解析22.已知函数，且.（1）求实数a的值；（2）求证：存在唯一的极小值点，且；（3）设，.对，
恒成立，求实数b的取值范围.（参考结论：，）【22~24题答案】【答案】（1）（2）证明见解析（3）
