2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）1．复数z＝﹣i的虚部为（ ）A．B．﹣C．iD．﹣i2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k＝（ ）A．﹣B．0C．3D．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则B的解的个数是（ ）A．0B．1C．2D．不确定4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（ ）A．1B．C．2D．25．已知向量，不共线，且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（ ）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣6．设复数z满足＝i，则|z|＝（ ）A．1B．C．D．27．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交8．已知，为单位向量，|+|＝|﹣|，记是与+方向相同的单位向量，则在+方向上的投影向量为（ ）A．B．﹣C．D．9．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A．若|z1﹣z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2,C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z2210．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分线交BC于点D，AD＝1，cosA＝，以下结论正确的是（ ）A．AC＝B．AB＝8C．＝D．△ABD的面积为二、填空题（6题，每题5分，共30分）11．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则c＝ ．12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为 ．13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为 ．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为 ．15．设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为 ．16．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是 ．三、解答题（4题，每题12分，共48分）17．如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．,（1）求证：MN∥平面PAD；（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积．19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．（1）设＝x+y，求x+y的值；（2）若＝6，求的值．20．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．,参考答案一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）1．复数z＝﹣i的虚部为（ ）A．B．﹣C．iD．﹣i解：z＝﹣i的虚部为﹣，故选：B．2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k＝（ ）A．﹣B．0C．3D．解：∵＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）∴2﹣3＝（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•＝0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）＝0，解得，k＝3．故选：C．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则B的解的个数是（ ）A．0B．1C．2D．不确定解：因为a＝80，b＝100，A＝30°，由正弦定理得，，所以sinB＝，因为a＜b，所以B＞A，故B有两解．故选：C．4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（ ）,A．1B．C．2D．2解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）＝π，解得：r＝，l＝，故圆锥的高h＝＝，故选：B．5．已知向量，不共线，且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（ ）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣解：与的方向相反，且不共线，∴存在μ＜0，使，∴，解得或1（舍去）．故选：B．6．设复数z满足＝i，则|z|＝（ ）A．1B．C．D．2解：∵复数z满足＝i，∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z＝＝i，∴|z|＝1，故选：A．7．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交,C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．8．已知，为单位向量，|+|＝|﹣|，记是与+方向相同的单位向量，则在+方向上的投影向量为（ ）A．B．﹣C．D．解：由题意可得2+2＝2﹣4+2，可得＝，则＝1+＝，设与+的夹角为α，则||•||cosα＝，,有||＝＝，故＝＝．则在+方向上的投影向量为：．故选：C．9．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A．若|z1﹣z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22解：对（A），若|z1﹣z2|＝0，则z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以为真；对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，则，，所以为真；对（D）若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而，所以为假．故选：ABC．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分线交BC于点D，AD＝1，cosA＝，以下结论正确的是（ ）A．AC＝B．AB＝8C．＝D．△ABD的面积为解：因为b＝ccosA，由正弦定理可得，sinB＝sinCcosA＝sin（A+C），所以sinAcosC＝0，因为sinA≠0，所以cosC＝0即C＝，∵＝cosA＝，,由角平分线定理可得，＝，设AC＝x，AB＝8x，则BC＝3x，CD＝，Rt△ACD中，由勾股定理可得，，解可得x＝，即AC＝，AB＝6，∵SABC＝＝，所以S△ABD＝＝．故选：ACD．二、填空题（6题，每题5分，共30分）11．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则c＝ 3 ．解：因为1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，所以1﹣i也是方程的根，由根与系数的关系可知：，所以b＝﹣2，c＝3．故答案为：3．12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为 2+ ．解：DC＝ABsin45°＝，BC＝ABsin45°+AD＝+1，S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，S＝S梯形ABCD＝2+．,故答案为：2+13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为 ．解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO＝AO＝R，PO1＝4，OO1＝4﹣R，在Rt△AO1O中，AO1＝，由勾股定理R2＝2+（4﹣R）2得R＝，∴球的体积为．故答案为：．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为 ．解：∵cosA＝，A为三角形的内角，∴sinA＝＝＝，∵sinB＝cosC，且sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC＝cosC，则cosC+sinC＝cosC，即sinC﹣cosC＝0，由得，sinC＝，cosC＝，∴sinB＝cosC＝，又a＝，由正弦定理得，,则c＝＝＝，∴△ABC的面积S＝＝＝，故答案为：．15．设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为 14 ．解：由3+4＝m，可得+＝，可设＝+，则D，A，C共线，且D在线段AC上，可得＝，即有D分AC的比为4：3，即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍，故S△ABC＝S△ABP＝×8＝14．故答案为：14．16．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是 ．,解：如图，设D是线段BC的中点，则OD⊥BC，连接OA，OB．OC，OD，设θ为和的夹角，则•＝（﹣）•＝•﹣•＝||•||•∠BCO﹣||•||•cosθ＝﹣|•cosθ≥﹣|＝（||﹣）2﹣，∵||∈[0，2]，∴当||＝时，•有最小值为﹣，当||＝2且cosθ＝﹣1时，﹣|•cosθ有最大值为3，即•有最大值为3，故答案为：[﹣，3]．三、解答题（4题，每题12分，共48分）17．如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接AE、NE，如图所示：,由NE∥DC，且NE＝DC，AM∥DC，且AM＝DC，所以NE∥AM，且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD；（2）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥BC．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积．解：（1）由题意知，acosC+asinC﹣b﹣c＝0，由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，由sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）得，sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，,则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，又sinC≠0，则sinA﹣cosA＝1，化简得，，即，又0＜A＜π，所以A＝；（2）在△ABC中，cosB＝得，sinB＝＝…则sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝…由正弦定理得，＝＝…设a＝7x、c＝5x，在△ABD中，由余弦定理得：AD2＝AB2+BD2﹣2•AB•BD•cosB，，解得x＝1，则a＝7，c＝5…所以△ABC的面积S＝＝…19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．（1）设＝x+y，求x+y的值；（2）若＝6，求的值．解：（1）△ABC中，D是BC的中点，BE＝2EA，AD与CE交于点O．设＝x+y＝x+y（﹣）＝﹣x﹣y+y＝（﹣x﹣y）+y，,又＝，＝，所以＝（﹣x﹣y）+y，所以﹣x﹣y+y＝1，①又＝﹣（x+y）+2y，所以﹣（x+y）+2y＝1，②由①②组成方程组解得，所以x+y＝﹣＝﹣；（2）设＝m＝m（+），＝+＝+n＝+n（﹣）＝（1﹣n）+n＝+n；所以，，所以＝＝（+），＝﹣＝﹣+，所以6•＝6×（+）•（﹣+）＝﹣+•+；又•＝6，所以0＝﹣+，所以＝3，所以＝．20．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．,（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1，∵|a|＞0，∴﹣a＞0∴⇒a≤﹣1（2）当x≥a时，f（x）＝3x2﹣2ax+a2，∴，如图所示：当x≤a时，f（x）＝x2+2ax﹣a2，∴．,综上所述：．（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△＝4a2﹣12（a2﹣1）＝12﹣8a2当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；当﹣＜a＜时，△＞0，得：即进而分2类讨论：当﹣＜a＜﹣时，a＜，此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当﹣≤a≤时，＜a＜；此时不等式组的解集为[，+∞）．当＜x＜，a＞；此时不等式组的解集为（a，+∞）．综上可得，当a∈（﹣∞，﹣]∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；,当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．
