2021级高一第二学期期中考试数学科试卷一.选择题:共8小题,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知为实数，且（i为虚数单位)，则()A.3B.4C.5D.62.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.已知函数在区间[-2,-1]上单调递增，则实数k的取值范围是（）A.B.[-4,+∞）C.（-∞,-4]D.（-∞,2]4.在中，，，，则的值等于（）A.B.C.D.5.已知空间中不过同一点的三条直线，，则“，，共面”是“，，两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.为了测量河对岸两点，间的距离，现在沿岸相距的两点，处分别测得，，，，则，间的距离为（）A.B.C.D.7.设，，，则，，的大小关系是（）
A.B.C.D.8.如图，在中，，分别是，的中点，，是线段上两个动点，且，则的最小值为A.B.C.D.二.多选题:共4小题,共分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在复平面内，下列说法正确的是A.若复数为虚数单位，则B.若复数满足，则C.若复数，则为纯虚数的充要条件是D.若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆10.等腰直角三角形直角边长为，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为 A.B.C.D.11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是A.若，则B.若，则是钝角三角形C.若，，，则符合条件的有两个
D.若，，则角的大小为12.关于函数，下列说法正确的有A.函数是周期为的周期函数B.C.不等式的解集是D.若存在实数满足，则的取值范围是三.填空题：共4小题,共分.13.已知向量，，，若与共线，则实数 ．14.已知三棱锥所有顶点均在球O的球面上，且，，两两垂直，，则球O的体积为 ．15.已知圆台的上底半径为，下底半径为，圆台的高为，则圆台的侧面积为 ．16.已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ．四.解答题：共6小题,题分,其它每题,共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角，，对边分别为，，，，而且________．求；求三角形面积的最大值．
18.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点．求证：平面．求三棱锥的体积．19.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．20.已知函数，．若对任意的恒成立，求实数的取值范围；若在上单调递减，求实数的取值范围；
解不等式．21.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为的半圆空地上，设置扇形区域作为大人休息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区区域和沙坑滑梯区区域，其中为直径延长线上一点，且，为半圆周上一动点，以为边作等边．若等边的边长为，，试写出关于的函数关系式；问为多少时，儿童游玩区的面积最大？这个最大面积为多少？22.已知二次函数若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为．（注：区间）2021级高一第二学期期中考试参考答案BCCABBDBADABABDBCD18.如图，在中，，分别是，的中点，，是线段上两个动点，且，则的最小值为
A.B.C.D.解：由，，三点共线，，，三点共线可得，存在实数，，，，使得，，，，由，，，共线，，，，可得，，所以，即，点，是线段上两个动点，，，那么，当且仅当时取等号，则的最小值为．故选：．
12.关于函数，下列说法正确的有A.函数是周期为的周期函数B.C.不等式的解集是D.若存在实数满足，则的取值范围是解：函数，作出图象如图所示，根据的图象可知，函数不是周期函数，故选项A错误；，故选项B正确；当时，若，则，即，解得或，当时，若，则，即，解得，结合的图象可得，不等式的解集是，故选项C正确；设存在实数满足，则函数与的图象有三个不同的交点，其中和关于的对称轴对称，故，
当时，，故的取值范围是，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，当时，的值为，当时，的值为，故的取值范围为，故选项D正确．故选：．16.已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ．解：由题意可得，，且由余弦定理可得当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，又因为为锐角三角形，所以，即结合可得，解得，所以设，，根据对勾函数的性质可得，当，有最大值，
综上所述，的取值范围为 ，故答案为 ．17.在，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角，，对边分别为，，，，而且________．求；求三角形面积的最大值．解：选因为，所以，因为，所以，
即，又因为，所以，所以，；选，中，角，，的对边分别是，，，，由正弦定理得，即，，由，；由知，，在三角形中，由余弦定理得即≥，当且仅当=时等号成立．面积的最大值为．18.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点．求证：平面．
求三棱锥的体积．证明：连接交于点，连接，三棱柱中，侧面是平行四边形，是中点，是中点，，又平面，平面，平面D.是等边三角形，边长为，，．，则三棱锥的体积．
19.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．解：函数，当，解得：，因此，函数的单调减区间为；将函数的图象向左平移个单位，得的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
，，故的值域为．20.已知函数，．若对任意的恒成立，求实数的取值范围；若在上单调递减，求实数的取值范围；解不等式．解：因为对任意的恒成立，则判别式，即所以．因为函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
因为在上单调递减，所以，所以由得：，由得或2当时，不等式的解集是当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是．综上，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是21.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为的半圆空地上，设置扇形区域作为大人休息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区区域和沙坑滑梯区区域，其中为直径延长线上一点，且，为半圆周上一动点，以为边作等边．若等边的边长为，，试写出关于的函数关系式；问为多少时，儿童游玩区的面积最大？这个最大面积为多少？
解：在中，，，，，所以，则，；因为，，所以，因为，所以，故当，即时，取得最大值为．所以当为时，儿童游玩区的面积最大为．
22.已知二次函数：若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为．解：二次函数的对称轴是，函数在区间上单调递减，要使函数在区间上存在零点，须满足，即，解得，所以使函数在区间上存在零点的实数的取值范围是．当时，即时，的值域为：，即，，，，经检验不合题意，舍去，故，当时，即时，的值域为：，即，，，舍去，
当时，的值域为：，即，，，或，经检验或满足题意，所以存在或或，的值域为区间，且的长度为．
