第七届湖北省高三（4月）调研模拟考试数学试卷2022.4本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定住置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】B2.若复数z的满足(是虚数单位)，则复数z的实部是（）A.1B.2C.iD.【2题答案】【答案】A3.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是（）
A.B.C.D.【3题答案】【答案】D4.已知平行四边形中，，则（）A.9B.C.18D.【4题答案】【答案】D5.已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（）A160B.C.60D.【5题答案】【答案】B6.在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（）A.B.1C.D.2
【6题答案】【答案】C7.已知、是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（）A.B.C.D.3【7题答案】【答案】C8.已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（）A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差B.若甲，乙两组数据平均数分别为，则C.若甲，乙两组数据的方差分别为，则D.甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
【9题答案】【答案】BD10.定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A.B.C.若，则D.【10题答案】【答案】BD11.设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）A.直线l过定点B.当取得最小值时，C.当最小时，其余弦值为D.的最大值为24【11题答案】【答案】AD12.在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（）A.当时，三棱锥的体积为定值B.当时，四棱锥的外接球的表面积是C.若直线与平面所成角的正弦值为，则
D.存在唯一的实数对，使得平面【12题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若随机变量，且，则等于_________．【13题答案】【答案】##14.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且则解下6个圆环所需的最少移动次数为_________．【14题答案】【答案】6415.设抛物线的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设与相交于点D．若，且的面积为，则直线的斜率________，抛物线的方程为________．【15题答案】【答案】①.②.16.已知函数，若，则的最大值为_________．【16题答案】【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，在平面四边形中，．（1）若，求；（2）若，求四边形的面积．【17题答案】【答案】（1）（2）19.已知正项等差数列满足：，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．【19题答案】【答案】（1）（2）最小值为21.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为．（1）求该款芯片生产在进人第四道工序前的次品率；（2）如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并
由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．【21题答案】【答案】（1）（2）23.如图在斜三棱柱中，，侧面底面，点M，N分别为的中点，点D为线段上一点，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【23题答案】【答案】（1）证明见解析（2）25.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．①求证：直线恒过x轴上一定点；
②设和的面积分别为，求的最大值．【25题答案】【答案】（1）（2）①证明见解析；②227.已知函数．（1）若不等式恒成立，求正实数a的值；（2）证明：．【27题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析【分析】(1)令，根据的范围，求导得到，故只需讨论的正负性，即可判断的单调性(2)由（1）得，要证要证明，只需证，即证，再利用放缩，证明出，进而把要证明的问题转化为证明成立，最后再经过放缩，把问题转化为证明成立，最后，通过导数的方法，证明以上等式成立.【小问1详解】令，则，设，则对任意恒成立，
所以在上单调递增，又，存在唯一实数，所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以．因为，所以，且．所以，设，因为，所以在上单调递增，上单调递减所以，而依题意必有，所以，此时，所以若不等式恒成立，则正实数的值为1．【小问2详解】方法一：借助第（1）问结论由（1）得，当时，对任意恒成立．所以，（当且仅当时等号成立），则．所以要证明，只需证，即证．设，则在上单调递增，上单调递减．所以，即．
所以只需证，即证．①当时，，不等式成立．②当时，，不等式成立．所以，证毕，方法二：分别放缩设，则恒成立，在上单调递增，，所以．设，则在上单调递增，上单调递增，，所以，所以，即．所以当时，又因为，所以
