高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则中元素的个数是（）A．4B．5C．6D．72．已知，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线4．设函数则不等式的解集为（）A．B．C．D．5．已知函数，若的图象在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．6．已知椭圆的上顶点，左、右焦点分别为，，连接，并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．共有10级台阶，某人一步可跨一级合阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完台阶的方法种数是（）A．30B．90C．75D．608．已知，且，则（）A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知角的终边经过点，则（）A．B．C．D．10．某工厂加工一种零件，有两种不同的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间（单位；h）均近似服从正态分布，用工艺1加工一个零件所用时间；用工艺2加工一个零件所用时间，，的概率分布密度曲线如图，则（）A．，B．若加工时间只有，应选择工艺2C．若加工时间只有，应选择工艺2D．，11．若函数是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．2是函数的一个周期C．D．12．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台），下底面边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（）A．它的表面积为B．它的外接球的表面积为C．侧棱与下底面所成的角为60°D．它的体积比棱长为的正方体的体积大三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为______．14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“5局3胜制”，即先胜3局为胜方，比赛结束．已知甲每局获胜的概率均为0.6，则甲开局获胜并且最终以取胜的概率为______．
15．已知抛物线，过焦点且斜率为的直线交于，两点（其中点在轴下方），再过，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，设，分别为，的面积，则______．16．若对于任意的，，不等式恒成立，则的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）某高级中学为了解学生体质情况，随机抽取高二、高三男生各50人进行引体向上体能检测，下图是根据100名学生检测结果绘制的学生一次能做引体向上个数的频率分布直方图，所做引体向上个数的分组区间为，，，，．（1）求这100名学生中一次能做引体向上5个以下的人数，并完善频率分布直方图（即作出“引体向上个数为0~5”所对应的矩形）；（2）若男生一次能做引体向上10个或以上为及格，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关？引体向上及格引体向上不及格总计高三男生50高二男生2050总计100附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818．（本小题满分12分）如图，在中，已知是边上一点，且，，，
．（1）求；（2）求的面积．19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的最大项．20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，二面角为直二面角．（1）若，证明：平面平面；（2）若，，二面角的余弦值为，求的长．21．（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且该双曲线过点．（1）求的方程；
（2）如图，过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点，和点，，当直线，均不平行于坐标轴时，直线，分别与直线相交于，两点，证明：，两点关于轴对称．22．（本小题满分12分）已知函数，．（1）求函数在上的极值；（2）当时，若直线既是曲线又是曲线的切线，试判断的条数．高三数学参考答案、提示及评分细则1．A因为，所以．故选A．2．B，则复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B．3．D对于A，内有无数条直线与平行不能得出，内的所有直线与平行才能得出，故A错；对于B，C，，垂直于同一平面或，平行于同一条直线，都不能确定，的位置关系，故B，C错；对于D，因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确．故选D．4．A法1：，由函数的图象可看出，在上，所以，而函数在上是减函数，所以，得，所以原不等式的解集为．故选A．法2：，不等式等价于或
解得，所以原不等式的解集为．故选A．5．D，由得．因为的图象在区间上有且只有1个最低点，所以的图象在区间上有且只有1个最低点，所以有，解得．故选D．6．C设，，则，又，则，所以，即，又，，可得，代入可得，则椭圆的离心率为．故选C．7．B设跨一级、二级、三级台阶的步数分别为，，，则解得或或所以总方法种数为．故选B．8．C两边取自然对数，得，设，由，得，在上单调递增，在上单调递减，则时，取最大值，又时，；时，，作出其图象，又，可知，．故选C．
9．ABD由三角函数的定义，，所以．又，所以有．解得或（舍去）．由三角函数的定义知，所以．从而，于是，所以，，．故选ABD．10．AC对于A，因为，，由密度曲线图知，，，，所以．又因为的密度曲线比密度曲线更“瘦高”，则，所以A正确；对于B，若加工时间只有，，，则应选择工艺1，所以B错误；对于C，若加工时间只有，，，而，故，则应选择工艺2，所以C正确；对于D，，，，无法判断两者的大小，所以D错误．故选AC．11．AC法1：因为函数是奇函数，所以，函数图象关于点对称，故A正确；因为函数的周期为2，所以，的周期
为4，故B错误；因为函数是奇函数，所以，即，又因为函数的周期为4，所以，故C正确；，无法确定的值，故D错误．故选AC．法2：取满足题意的一个函数，经验证AC正确．12．ACD该四棱台的侧面梯形的高，所以其表面积为，A正确；由棱台定义，画出截得该棱台的四棱锥，设，分别为正方形，的中心，由于，，可知与的相似比为；则，，则，则，即该四棱台的高为，由于上下底面都是正方形，则四棱台外接球的球心在上．在四边形中，由于，，则，即点到点与到点的距离相等，则该四棱台外接球的半径，表面积为，B错误；由，，，所以，即侧棱与下底面所成的角为60°，C正确；该四棱台的体积，棱长为的正方体的体积为，，D正确．故选ACD．13．由，得，两边平方得，解得，所以，则与夹角的余弦值为．14．0.1728甲开局获胜并且最终以取胜的情况共2种：胜负胜胜，胜胜负胜，故所求概
率为．15．解法1：如图，设直线的倾斜角为，则．由抛物线的定义，，故．同理可得．．解法2：过作于，则，不妨设，，则，所以，所以，，则．16．由，得，设，则，令，得，在上单调递减，在上单调递增，所以
最小值为，即，所以，即，令，则，令，得，在上单调递增，在上单调递减，则当时，取最大值，所以的取值范围是．17．解：（1）因为，所以（人），即这100名学生中能做引体向上5个以下的人数为25．补全频率分布直方图如下．（2）100名学生一次中能做“引体向上个数”在内的有25人；在内的有30人；在内的有25人；在内的有15人；在内的有5人；其中及格45人，不及格55人，补全列联表如下：引体向上及格引体向上不及格总计高三男生153550高二男生302050总计4555100，所以有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关．18．解：（1）在中，由余弦定理，得，即，解得或（舍）．在中，，．由余弦定理，得
．由正弦定理，得，所以．（2）在中，，，，所以的面积．19．解：（1）当时，，解得；当时，，解得，故，即．当时，，又满足，故数列的通项公式为．（2）由题意知，则．显然，令，得．当时，，即，当时，，即，也即，当时，，即，所以，且．所以数列的最大项为．20．（1）证明：因为二面角为直二面角，所以平面平面．又平面平面，平面，，所以平面．又平面，所以，
又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：如图，以的中点为坐标原点，分别以面内垂直于的直线、直线、直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，因为，则，所以，，．设平面的法向量为，则令，得平面的一个法向量；同理，得平面的一个法向量．由二面角的余弦值为，有，解得，则．21．（1）解法1：由已知得解得，，所以的方程为．解法2：由双曲线的定义，得．故．
从而，．故的方程为．（2）证明：设直线的方程为，直线的方程为，点，，，，由得，则，得．所以，，同理可得，，，满足．直线的方程为，令，得，又，，所以，即，同理可得，因为，所以，两点关于轴对称．22．解：（1）由题知，所以．令，解得．故当变化时，，的变化情况如下表：
+0－单调递增极大值单调递减所以当时，取得极大值，无极小值．（2），，所以曲线在点处的切线方程为，即．同理可得曲线在处的切线方程为，即．若曲线与曲线有公切线，则由①得，代入②得．所以问题转化为判断关于的方程在上的根的个数．因，当时，令，则，令，得．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．因为，，
所以，，所以函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的正实数根；当时，令，则，显然时，则在上单调递减．因为，，所以在上有唯一一个零点，即方程在上有唯一一个负实数根．所以曲线与曲线的公切线有3条．
