2021～2022学年度第二学期期中调研测试高二数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若向量，，则向量与的夹角为（）A0B.C.D.【1题答案】【答案】D2.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.种B.种C.种D.种【2题答案】【答案】A3.在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，则（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】D4.被9除所得的余数是（）A.0B.1C.2D.3【4题答案】【答案】C5.三棱锥ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于( )
A.－2B.2C.D.【5题答案】【答案】A6.疫情期间学校采用线上教学，上午有4节课，一个教师要上3个班的网课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个老师的课有（）种排法.A.3B.6C.12D.18【6题答案】【答案】C7.已知是所在平面外一点，是中点，且，则（）A.0B.1C.2D.3【7题答案】【答案】A8.已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.给定下列命题，其中正确的命题是（）
A.若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则B.若，分别是不重合两平面的法向量，则C.若，分别是不重合的两平面的法向量，则D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【9题答案】【答案】ACD10.若x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，⋅⋅⋅，a5为实数，则（ ）A.B.a1+a2+⋅⋅⋅+a5＝1C.a1+a3+a5＝16D.【10题答案】【答案】BD11.现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（）A.若甲乙丙顺序固定，共有种站法B.若甲乙必须站在一起，共有种站法C.若甲乙不站在一起，共有种站法D.若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法【11题答案】【答案】ABC12.已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是（）
A.向量可以构成一组基底B.当时，C.当时，在平面上的投影向量的模长为D.对任意实数，总有【12题答案】【答案】AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.若单位向量与向量，都垂直，则向量的坐标为______．【13题答案】【答案】14.现将6个相同的小球放在3个不同的盒子里，每个盒子至少一个，共有______种放法.（用数字作答）【14题答案】【答案】1015.已知，的展开式中含项的系数为13，则当________，含项的系数取得最小值，最小值为_________．【15题答案】【答案】①.6或7##7或6②.3616.设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
【16题答案】【答案】四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）求的值；（2）若，求的值．【17题答案】【答案】（1）330（2）1519.已知.（1）求；（2）求与夹角的余弦值；（3）当时，求实数的值.【19题答案】【答案】（1）-10（2）（3）或21.某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．（1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？（2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？（3）若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？【21题答案】【答案】（1）64；（2）128；（3）51.
23.如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点.（1）求证：是平面的法向量；（2）求与平面所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值．【23题答案】【答案】（1）证明见解析（2）（3）【小问1详解】解：设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系.，又，，
所以，即，，又，面，面，所以是平面的法向量.【小问2详解】解：，，，又由（1）知平面的法向量，设与所成的角为，所以，因为，则，即与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】解：在正方体中，面，是面的法向量，又，，由图可知二面角为锐二面角，设为，所以，所以二面角平面角的正弦值为.25.在展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.（1）证明：展开式中没有常数项；（2）求展开式中系数最大的项．【25题答案】【答案】（1）证明见解析（2）第二项和第三项
【小问1详解】证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，，（舍）或.二项展开式中第项，令，所以展开式中没有常数项得证.【小问2详解】由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得，又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项.27.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，，点是线段上的动点．（1）当E为BC中点时，求证：平面平面；（2）求点B到面PCD的距离；（3）若点M是线段PA上的动点，当点E和点M满足什么条件时，直线面PCD．【27题答案】【答案】（1）证明见解析（2）
（3）【小问1详解】当E为BC中点时，，则为等边三角形,则在中，所以则,则又，则，又，所以平面平面，所以又，则平面，且平面所以平面平面【小问2详解】由，平面，平面，所以平面则点B到面PCD的距离等于到面PCD的距离等.在中，当E为BC中点时，由（1）可知,则为直角三角形.即，则,即，则由（1）有,且，所以平面由平面，则平面平面过点作交于点，则平面即为到面PCD的距离等，由所以所以点B到面PCD的距离为
【小问3详解】过点A作交BC于点G，以AG为x轴，AD为y轴,AP为z轴建立如图坐标系,则，，，设，则，，则，设面PCD的法向量,则,即取则当直线面PCD，时，可得，即，所以又，又当时，就为，此时平面所以时，直线面PCD.
