十堰市2022年高三年级四月调研考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】C2.下列四个抛物线中，开口朝左的是（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】C3.为了得到函数图象，只要将的图象（）A.向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B.向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变C.向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D.向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变【3题答案】【答案】A4.为了解某地高三学生的期末数学考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这100
名学生期末数学成绩的中位数约为（）A.92.5B.95C.97.5D.100【4题答案】【答案】B5.函数的部分图象大致为（）A.B.
C.D.【5题答案】【答案】D6.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（）A.B.10C.D.11【6题答案】【答案】C7.函数的最小值为（）A.4B.C.3D.【7题答案】【答案】A8.甲､乙､丙､丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人报名1个项目，目前有100米短跑､3000米长跑､跳高、跳远､铅球这5个项目可供选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名
额，若最后这4人共选择了3个项目，则不同的报名情况共有（）A.224种B.288种C.314种D.248种【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数，，则（）A.B.C.D.在复平面内对应的点位于第二象限【9题答案】【答案】BC10.已知函数，则()A.，，成等差数列B.，，成等差数列C.，，成等比数列D.，，成等比数列【10题答案】【答案】ABD11已知函数，.（）A.当时，没有零点B.当时，是增函数C.当时，直线与曲线相切D.当时，只有一个极值点，且【11题答案】【答案】ACD
12.已知双曲线（）的左､右焦点分别为F1（−c，0），F2（c，0）.直线与双曲线左､右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4，则下列说法正确的有（）A.双曲线的离心率为B.C.D.【12题答案】【答案】BD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知是周期为5的周期数列，其中是等差数列，且，则___________.【13题答案】【答案】14.当圆的面积最小时，圆C与圆的位置关系是___________.【14题答案】【答案】相交15.已知向量，，，则___________.【15题答案】【答案】16.如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的
最大体积为______.【16题答案】【答案】##四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.（1）求的概率；（2）若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.【17题答案】【答案】（1）0.1（2）分布列见解析，数学期望为0.219.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，求．【19题答案】【答案】（1）（2）
21.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和.【21题答案】【答案】（1）（2）23.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面EFD；（2）若平面PBC与平面PBD夹角的大小为，求AD的长度.【23题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）a.25.在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切.（1）证明为定值，并求点P的轨迹的方程.（2）过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.【25题答案】【答案】（1）证明见解析，（2）存在，27.已知函数.（1）讨论的单调性（2）若函数有且只有两个零点，证明：.【27题答案】【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得，分和，两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）化简，令，得到，令，利用导数求得函数的单调性转化为有且只有两个零点等价于函数有且只有两个零点，利用导数求得的单调性，分和，两种情况讨论得到要使有两个零点，转化为，不妨令，令，利用导数求得函数单调性，即可求解.【小问1详解】解：因，所以.
若，则恒成立；若，令，解得，当时，；当时，，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】证明：，令，则，令函数，则，可得在上单调递增，在上单调递减，又由，所以有且仅有一个零点，即，故函数有且只有两个零点等价于函数有且只有两个零点，可得，若，则恒成立，在上单调递增，则最多只有一个零点，不符合题意；若，则当时，单调递增；当单调递减.当或时，，故要使有两个零点，则需，即，
不妨令，今函数，则，因为，所以，故在上单调递增，又因为，所以，即，因为在上单调递减，所以，即.
