2022年春学期高二年级期中考试数学（文科）试卷Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（）A．－5＋5iB．－5－5iC．5＋5iD．5－5i2．曲线在点处的切线斜率是（）A．9B．6C．－3D．－13．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数分别如下表：甲乙丙丁0.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的5．已知的内角，，对边分别为，，，，，．则（）A．B．C．D．6．已知复数，i为虚数单位，则等于（）A．B．C．D．7．已知函数，则等于（）\nA．B．C．D．8．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．39．在△ABC中，B＝30°，，AC＝2，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元11．在△ABC中，，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形12．已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是（）A．B．C．D．Ⅱ卷一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数为纯虚数，则实数的值为______．14．函数，的单调递增区间为______．15．函数，已知x＝－3是函数的一个极值点，则实数a＝\n______．16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m．二、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）求下列函数的导数．（1）；（2）．18．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．19．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.63520．（12分）如图，甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？\n21．（12分）已知函数．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若，且对任意恒成立，求k的最大值．22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）求圆C截直线l所得的弦长．2022年春学期高二文科数学答案一、选择题DAAABDBBDBCD1．【答案】D【解析】由复数的几何意义，得＝(2,－3)，＝(－3,2)，∴＝－＝(2,－3)－(－3,2)＝(5,－5)．∴对应的复数是5－5i．2．【答案】A【解析】∵Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3，∴＝9＋6Δx＋(Δx)2，∴[9＋6Δx＋(Δx)2]＝9，由导数的几何意义可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)处的切线斜率是9．3．【答案】A\n【解析】相关指数R2越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好．4．【答案】A【解析】任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．5．【答案】B6．【答案】D【解析】因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋＝－i．7．【答案】B【解析】∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2．8．【答案】B【解析】可用反证法推出①②不正确，因此③正确9．【答案】D【解析】方法一如图，AD＝ABsinB＝＜2，故△ABC有两解，且BC＝2，BC′＝4，S△ABC＝BC×AD＝，S△ABC′＝BC′×AD＝2．方法二如图，设BC＝x，由余弦定理可得22＝(2)2＋x2－2x×2×cos30°，解得x＝2或x＝4，故△ABC有两解，\nS△ABC＝BC×AB×sinB＝×2×2×sin30°＝，或S△ABC＝BC×AB×sinB＝×2×4×sin30°＝2．10．【答案】B【解析】＝＝3.5，＝＝42，∴＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B．11．【答案】C【解析】由已知得cosB＋cosC＝，由正弦、余弦定理得，即a2(b＋c)－(b＋c)(b2－bc＋c2)＝bc(b＋c)，即a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．12．【答案】D【解析】∵f（x）是奇函数，∴不等式xf′(x)＜f(－x)，等价于xf′(x)＜－f(x)，即xf′(x)＋f(x)＜0，∵F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，即当x∈(－∞,0]时，F′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，函数F(x)为减函数，∵f(x)是奇函数，∴F(x)＝xf(x)为偶数，且当x＞0为增函数．即不等式F(3)＞F(2x－1)等价为F(3)＞F(|2x－1|)，∴|2x－1|＜3，∴－3＜2x－1＜3，即－2＜2x＜4，\n∴－1＜x＜2，即实数x的取值范围是(－1,2)，故选D．13．【答案】114．【答案】【解析】，令，即，解得．故函数的单调递增区间为．15．【答案】5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝0⇒a＝5，验证知，符合题意．16．【答案】100【解析】在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得，即，所以BC＝300．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100．17．【答案】（1）f′(x)＝（2）∵y＝，∴y′＝＝．18．【答案】（1）由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，故cosA＝，又∵0＜A＜π，∴A＝．\n（2）由＝2R，得a＝2sinA＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即()2＝b2＋c2－2bccos，即3＝4－2bc×，∴bc＝1，∴S△ABC＝bcsinA＝×1×sin．19．【答案】（1）将2×2列联表中的数据代入计算公式，得K2＝≈4.762．由于4.462＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）从5名数学系学生中随机抽取3人的一切可能结果所组成的基本事件为下列10个：(a1,a2,b1)，(a1,a2,b2)，(a1,a2,b3)，(a1,b1,b2)，(a1,b1,b3)，(a1,b2,b3)，(a2,b1,b2)，(a2,b1,b3)(a2,b2,b3)，(b1,b2,b3)，其中ai(i＝1,2)表示喜欢甜品的学生，bj(j＝1,2,3)表示不喜欢甜品的学生，这10个基本事件的出现是等可能的．抽取3人，至多有1人喜欢甜品的事件为以下7个：(a1,b1,b2)，(a1,b1,b3)，(a1,b2,b3)，(a2,b1,b2)，(a2,b1,b3)，(a2,b2,b3)，(b1,b2,b3)，从这5名学生中随机抽取3人，至多有1人喜欢甜品的概率为．20．【答案】如图，设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C、D两点，则AC＝8x，AD＝AB－BD＝20－10x．∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°＝(8x)2＋(20－10x)2－16x·(20－10x)·\n＝244x2－560x＋400＝244(x－)2＋．∵当CD2取得最小值时，CD取得最小值．∴当x＝时，CD取得最小值．因此经过小时甲、乙两船相距最近．21．【答案】解（1）因为函数f(x)＝x＋xlnx，所以f′(x)＝lnx＋2，所以f′(1)＝2，又f(1)＝1，则函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．（2）因为f(x)＝x＋xlnx，所以k(x－1)＜f(x)对任意的x＞1恒成立，即k(x－1)＜x＋xlnx，因为x＞1，即k＜对任意x＞1恒成立．令g(x)＝，则g′(x)＝，令h(x)＝x－lnx－2(x>1)，则h′(x)＝1－＞0，所以函数h(x)在(1,＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－2ln2＞0，所以方程h(x)＝0在(1,＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3,4)．当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0；当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以函数g(x)＝在(1,x0)上单调递减，在(x0,＋∞)上单调递增．所以g(x)min＝g(x0)＝＝x0∈(3,4)，所以k＜g(x)min＝x0．因为x0∈(3,4)，故整数k的最大值是3．22．【答案】（1）消去参数得圆C的普通方程为(x－)2＋(y－1)2＝9，由ρcos＝0，得ρcosθ－ρsinθ＝0，直线l的直角坐标方程x－y＝0．\n（2）圆心(,1)到l的距离d＝＝1．设圆心截直线l所得弦长为m，则＝2，∴m＝4．
