2021-2022学年度第二学期期中检测试题高二数学2022.4（满分150分，时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.展开后的项数为（）A.10B.18C.24D.36【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】根据分步乘法原理，展开后项数有：项.故选：C2.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加接力比赛，记事件A为“甲同学跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二棒”，则值为（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】B【解析】【分析】先确定甲同学跑第一棒的前提下，计算乙同学跑第二棒的可能性即可.【详解】因为甲同学跑第一棒，所以跑第二棒的有三种可能：乙，丙，丁，故事件A发生的前提下事件B发生的概率.故选：B.【点睛】本题考查了条件概率，属于基础题.3.设随机变量的概率分布列为1234\n则（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】B【解析】【详解】试题分析：，故选B考点：概率分布4.设，若，则n=（）A.6B.7C.10D.11【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，并结合求解即可.【详解】解：展开式第项，因为，所以，即，所以，整理得，解得.故选：B.5.在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则P到平面的距离等于（ ）A.B.C.D.\n【5题答案】【答案】C【解析】【分析】根据点面距的向量公式计算．详解】所求距离为．故选：C．6.如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（）A.256B.512C.1024D.1023【6题答案】【答案】B【解析】【分析】由图形以及二项式系数和的有关性质可得.【详解】由图知，第10行的所有数字之和为，由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的所有数字之和为．故选：B7.已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，\n若，则（）A.B.C.D.【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决【详解】由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线可得，解之得故选：D8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为A.20B.18C.16D.11【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据“波浪数”的定义，可得“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4，分别计算出每种的个数，相加即可.【详解】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16，故选C．【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，要对该问题准确分类，做到不充分，不遗漏，正确求解结果，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．漏选得2分，错选得0\n分．9.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（）A.，为对立事件B.C.D.【9题答案】【答案】ABC【解析】【分析】利用对立事件的定义判断选项A正确；再利用概率计算得选项BC正确，选项D错误.【详解】解：对于A，由于甲罐中只有红球和白球，故A正确；对于B，当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；对于D，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故，故D错误；对于C，，故C正确.故选：ABC.10.设，下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.当时，除以的余数是1【10题答案】【答案】ACD【解析】\n【分析】在展开式中，令求得结论判断A，根据二项式定理求得，判断B，令，换元后，对求导后，再令所得结论判断C，，代入后，展开后，应用整数知识可得余数从而判断D．【详解】在展开式中令，即得，A正确；，所以，，，B错；令，则，两边对求导得，令得，C正确；时，，展开式右边共7项，前6项都是2000的整数倍，因此它除以2000的余数是1，D正确．故选：ACD．11.我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新(S)、生涯找划(C)、国际视野(I)、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（）A.某学生从中选3类，共有56种选法B.课程“X”、“T”排在不相邻两天，共有种排法C.课程中“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排法D.课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法【11题答案】【答案】ABD【解析】【分析】A选项结合组合的思想即可判断；B选项采用插空法做；C选项采用捆绑法求解；D\n选项分成两类，一是“G”排在第一天，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，从而可求出总排法.【详解】解：A：，即A正确；B：若“X”、“T”不相邻，剩余6类排列方法为,形成7个空，则“X”、“T”填入7个空的方法为，所以共有种排法；C：先排列“S”、“C”、“T”三科则有种排列方法，三科形成整体与剩余5科再进行全排列，则方法有种排列方法，所以共有种方法；D：分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有种，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有种方法，则共有种排法.故选:ABD.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.12.如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（）A.平面B.与平面所成角的余弦值为\nC.三棱锥的体积为D.异面直线与所成的角的余弦值为【12题答案】【答案】BD【解析】【分析】A：应用面面垂直的性质及线面垂直的判定可得面，故不可能垂直面；B：构建空间直角坐标系，标注点坐标及对应向量坐标，求面的一个法向量，进而求线面角的余弦值；C：由即可求体积；D：由，则与所成角即为所求角，利用余弦定理求其余弦值即可.【详解】A：底面为矩形，即，面面，面面，面，所以面，过有且只有一条直线与面垂直，即不可能垂直面，错误；B：为的中点，过作，由题设构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，即，，，若为面的一个法向量，则，令，有，所以，若与平面所成角为，则，故，正确；\nC：连接，则，由题设知三棱锥的底面面积为，高为，所以，错误；D：由题设知：，故异面直线与所成的角即为与所成角，即为，而，由余弦定理可得，正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：A中证明面，过有且只有一条直线与面垂直，即\n可排除；B应用向量法，求线面角的正弦值；C应用等体积有，即可求体积；D应用平行找到异面直线所成角的平面角，由余弦定理求其余弦值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.，则______.【13题答案】【答案】5【解析】【分析】由排列数公式变形求解．【详解】因为，所以，，或，又，所以．故答案为：5．14.从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）．【14题答案】【答案】.【解析】【分析】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是，3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选3对夫妻出来，有种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有种，再算出所求概率.【详解】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是,3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选3对夫妻出来，有种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有种，即有种，故所求概率.故答案为：\n【点睛】本题是组合与古典概型的综合题，属于基础题.15.如图所示，已知四面体A-BCD的棱长均为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设=，=，=，则||=______.【15题答案】【答案】##【解析】【分析】连接，利用勾股定理计算出，再由勾股定理计算出，得结论．【详解】连接，如图，由于是中点，四面体A-BCD的棱长均为1，则，又是中点，所以，所以．故答案为：．\n16.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人．（1）有________种不同的保送方法；（2）若甲不能被保送到北大，有________种不同的保送方法．【16题答案】【答案】①.150②.100【解析】【分析】（1）将5名学生分组，有2，2，1和3，1，1两种形式，对这两种情况求分组的方法然后再分配即可.（2）将5名学生按照（1）进行分组，然后再这三组中含有甲的一组只有两种选择，剩下两组无限制，共有4种方法，乘以4即可.【详解】（1）5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有＝90种方法；当5名学生分成3，1，1时，共有＝60种方法．根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．（2）先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或3，1，1，所以有(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．故答案为：150100【点睛】本题考查分组分配问题，属于中档题.思路点睛：（1）分组分配问题先分组后分配；\n（2）平均分组问题，有组均分就除以.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.人站成两排队列，前排人，后排人.（1）一共有多少种站法；（2）现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法.【17题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，将7个人全排列，再将其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可，由排列数公式计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①前排3人有4个空，从甲乙丙3人中选1人插入；②对于后排，分2种情况讨论，求出后排排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，将7个人全排列，再将其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可；则有种排法，（2）根据题意，分2步进行分析：①前排3人有4个空，从甲乙丙3人中选1人插入，有种排法；②对于后排，若插入的2人不相邻有种，若相邻有种，则后排的安排方法有种；则有种排法．【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类讨论思想的运用.18.已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项．\n【18题答案】【答案】（1）；（2）,,．【解析】【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式，得到第二项和第三项的系数，所以得到关于的方程，解得答案；（2）由（1）得到的值，写出二项式展开式的通项公式，整理后，得到其的指数为整数的的值，再写出其展开式中的有理项.【详解】解：二项式展开式的通项公式为，；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得，即,解得；（2）二项式展开式的通项公式为，；当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为,,．\n【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，求二项展开式中的有理项，属于中档题.19.某高中学校为展示学生的青春风采，举办了校园歌手大赛，该大赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的学生按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等5名学生参加决赛．（1）求决赛中学生甲、乙恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中学生甲和学生乙之间间隔的人数记为，求的分布列．【19题答案】【答案】（1）（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）有特殊要求的元素优先考虑（2）按求离散型随机变量分布列的步骤求解即可【小问1详解】设“学生甲、乙恰好排在前两位”为事件，则【小问2详解】随机变量的可能取值为，，，，，随机变量X的分布列为21.如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，AB＝2A1B1＝2，AA1＝2，．\n（1）求证：DC⊥AA1；（2）若二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，求AD的长．【21题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）AD＝4．【解析】【分析】（1）先利用勾股定理可得，由此可知，结合，可知，可得AA1⊥平面ABCD，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，设，根据题设关系，求出平面及平面的法向量，根据题设建立方程，即可求解.【详解】（1）取中点，连接，可得且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，则BE⊥B1E，所以AA1⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABB1A1，所以AA1⊥平面ABCD，又由DC平面ABCD，所以DC⊥AA1.（2）由（1）知AA1⊥AD，设AD＝2a（），分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，0，2），C（2a，0，2），D（2a，0，0），C1（a，2，1），故，设平面CC1D的法向量，则，即，\n取，可得平面CC1D的一个法向量，设平面BCC1的法向量，则，即，取，可得平面BCC1的一个法向量，所以由二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值为，可得，解得，所以.【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.22.用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数.（1）在组成的四位数中，求偶数个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；\n（3）在组成的四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字.【22题答案】【答案】（1）种（2）个（3）第个数字是【解析】【分析】（1）利用分类计数原理即可求解（2）先取数，再排序（3）利用分类计数原理即可求解【小问1详解】根据分类计数原理知，当末位是0时，十位、百位、千位从5个元素中选三个进行排列有种结果，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，千位从4个元素中选一个，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果;【小问2详解】共有个【小问3详解】若1在千位，有种结果；若2在千位，0或1在百位，有种结果；因为，所以，第个数字是24.已知m，n是正整数，f（x）＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7．（1）对于使f（x）的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；（2）利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)（3）已知(1＋2x)8的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求．【24题答案】【答案】（1）5；（2）2.02；（3）．【解析】【分析】（1）由题可得，即得；\n（2）利用二项式展开式可得；（3）由题可得a，再列出不等式组，即解.【详解】（1）根据题意得，即m＋n＝7，①f（x）中的x2的系数为，将①变形为n＝7－m代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＝＋，故当m＝3或m＝4时，x2的系数有最小值为9．当m＝3，n＝4时，x3的系数为；当m＝4，n＝3时，x3的系数为．即此时x3的系数为5.（2）f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈＋×0.003＋＋×0.003≈2.02．（3）由题意可得，a＝＝70，∵展开式的通项为，由即∴k＝5或6时系数最大，此时，b＝7×28，∴.
