2021~2022学年度第二学期期中教学质量检测高二数学试题2022.04本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页；满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在指定位置处．2．第Ⅰ卷的答案须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带否则，该答题无效．4．书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚．第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若，则（）A．6B．8C．9D．102．已知函数，则（）A．0B．1C．D．3．下列函数中，在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．4．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（）\nA．是函数的极大值点B．是函数的零点C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上存在极小值5．若与的展开式中含项的系数相等，则（）A．B．C．D．6．已知，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．7．如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（）种A．120B．240C．300D．3608．已知奇函数是定义在上的可导函数，且的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．\n二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（）A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项10．下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．11．在新高考方案中，选择性考试科目有6门，即：物理、化学、生物、政治、历史、地理．某学生想在这6门课程中选三门作为选考科目，根据高校的要求，学生结合自身特长兴趣，他首先要在物理、历史2门科目中选择1门；再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，高考考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．下列说法正确的是（）A．若物理必选，则选法总数为B．若生物必选，则选法总数为C．若化学、生物至少选一门，则选法总数为D．若历史必选，政治、地理至少选一门，则选法总数为12．已知函数，则下述说法正确的是（）A．函数有两个极小值点B．函数不存在极大值点C．当时，函数的值域是，则D．当时，函数恰有4个不同的零点第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．某公司开新发了4件不同的新产品，需放到三个不同的机构A，B，C进行测试，每件产品只能放到一个机构里，则所有测试的情况有________种（结果用具体数字表示）．\n14．已知，则________；该二项展开式中所有奇次项系数的和为________．（本小题第一空2分；第二空3分）15．若函数在上为增函数，则实数a的取值范围为____________．16．设函数，若存在使得成立，则的最大值为1，此时实数_____________．四、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数，且在处取得极值．（Ⅰ）求函数的解析式：（Ⅱ）求曲线在处的切线的方程．18．（本小题满分12分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）357现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．（Ⅰ）若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？（Ⅱ）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？19．（本小题满分12分）在的展开式中，若__________．①其前三项的二项式系数的和等于22②所有奇数项的二项式系数的和为32试从上面所给的两个条件中选择一个补充到上面的横线上，并解答下列问题：（Ⅰ）求该二项展开式中的常数项；（Ⅱ）求该二项展开式中系数最大的项．20．（本小题满分12分）已知函数．\n（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，试讨论函数的单调性．21．（本小题满分12分）某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式．（Ⅱ）问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）22．（本小题满分12分）已知函数，且有两个极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是香存在实数a，使成立，若存在求出a的值，若不存在，请说明理由．\n高二数学试题参考答案2022.04一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案CDBABDCA二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）题号9101112答案BCBCDABCACD二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．8114．1；（本小题第一空2分；第二空3分）15．16．2三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．解：（Ⅰ）易得．1分因为函数在处取得极值，所以，所以．2分此时由，\n得或．3分当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，即函数在处取得小极值．4分所以满足题意，故．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以曲线在处的切线的斜率．8分又，所以切线的切点坐标为，11分故所求切线的方程为，即．10分18．解：（Ⅰ）若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，2分则有（种）．6分故甲、乙下地铁的方案共有24种；5分（Ⅱ）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，则有（种）；7分第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形：1）甲站下，乙下地铁方式有种；2）甲站下，乙下地铁方式有种；3）甲站下，乙只能从下地铁，共有1种方式，从而有（种）．9分依据分类加法计数原理，得（种），11分故甲比乙先下地铁的方案共有21种．12分【说明】本题第（Ⅱ）问考生若运用“列举法”或“树状图”方法，只要步骤完整、规范合理、结果正确，请参照标准酌情赋分．\n19．解：（Ⅰ）若选①，则由题意，得，1分即，解得或（舍去）．2分若选②，则由题意及二项式系数的性质，得，1分所以．2分从而得其通项公式．3分依题意，令，4分解得．故所求展开式的常数项为第3项，即．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（，且）已知展开式中第的系数记为且，，不妨设最大，6分则有7分即8分化简，得解得．10分因为且，所以．即该二项展开式中系数最大的项是第5项，且．12分20．解：（Ⅰ）由题意时，函数，则有．1分令，得或．\n由于，所以当时，在上单调递增；2分当时，在上单调递减；3分当时，在上单调递增．…4分所以函数在时取得极大值，且；在时取得极小值．且．又，综上，函数在区间上取得最大值为，最小值为．6分（Ⅱ），且，7分当时，，此时在单调递增．8分当时，时，，此时单调递增；时，，此时单调递减；时，，此时单调递增．11分综上，当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为；函数单调递减区间为．12分21．解：（Ⅰ）由题意知，需要新建的高压线塔为座．1分所以，2分即．4分\n（Ⅱ）由（Ⅰ），得，6分令得或（舍去）．7分由，得；由，得，所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．9分所以当时，函数y取得最小值，且，此时应建高压线塔为（座）．11分故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．12分22．解：（Ⅰ）由题设，知函数的定义域为，且，1分因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，2分则有，4分解得，即所求实数a的取值范围是．5分（Ⅱ）由题意，得，又由（Ⅰ）知，\n所以．7分要使成立，只需．由（Ⅰ）知，则只需，即．（※）8分由于，所以不妨设，则（※）式成立，等价于成立．10分设，则，所以函数在区间上单调递减，且，所以，11分所以无实数解，即（※）式不成立，所以不存在实数a，使成立．12分
