河北区2021－2022学年度高三年级总复习质量检测（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互独立，那么球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则集合（）AB.C.D.2.设，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知，，，则（）A.B.\nC.D.4.某高校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.则根据直方图这400名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A.60B.90C.130D.1505.函数的图像大致为（）AB.CD.6.一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）A.B.C.或D.或7.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）\nA.B.C.D.8.已知双曲线的离心率为，为坐标原点，过右焦点的直线与的两条渐近线的交点分别为、，且为直角三角形，若，则的方程为（）A.B.C.D.9.已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷注意事项：1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.3.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.10.是虚数单位，则的值为__________.\n11.在的展开式中，的系数等于__．12.袋子中有5个大小相同小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______.13.经过点的直线被圆：截得的弦长为，则直线的方程为__________.14.已知，，且，则的最大值为__________.15.已知是边长为2的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为_______．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，内角，，对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的值.18.如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.\n20.设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列前n项和为，求；（3）利用第二问结果，设是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．21.已知椭圆：的一个顶点恰好是抛物线：的焦点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设，，，是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.证明是等腰三角形.23.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求的值；（3）证明：.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【解析】【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B\n【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】1【11题答案】【答案】7【12题答案】【答案】①.##0.3②.##0.5【13题答案】【答案】或【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】\n∵，由正弦定理得，，化简得.由余弦定理得，.又，∴.【小问2详解】由，得.∴，.∴【18题答案】【小问1详解】∵，为的中点，∴.又，，平面，平面，∴平面，∴.又，，平面，平面，∴平面.【小问2详解】由（1）可知平面.又.以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，\n则，，，，，.∴.设平面的法向量为.∵，，∴即不妨取，得.设直线与平面所成的角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】设平面的法向量为.∵，，∴即取，得.\n设平面与平面的夹角为，如图示，平面与平面的夹角为锐角（或直角），则∴平面与平面的夹角的余弦值为.【20题答案】【答案】（1）;（2）（3）当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.【详解】（1）令n＝1得，；当n时，，所以（2）当时，,此时，又∴.故，当时，.（3）若，\n则等式为，不是整数，不符合题意；若，则等式为，∵是整数,∴必是的因数,∵时∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立【21题答案】【小问1详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为，∴.∵，又，解得.∴椭圆的方程为.【小问2详解】证明：（2）由（1）可得，，，，直线的方程为.直线的方程为.设直线的方程为（，且）.由消去，整理得.\n∵，∴，即.∴，.∴直线的方程为.由得.由得.∴轴.又的中点的坐标为，∴轴.∴的中线.故是等腰三角形.【23题答案】【详解】（1）函数的定义域为由，当时，，当时，令，则；令，则所以当时，函数在单调递增当时，函数在单调递减，在单调递增（2）由，所以，即令，则，所以\n由（1）可知，当时，在单调递增，所以，所以（3），容易判断在单调递减，且由（2）可知，，则所以若，；若，所以可知函数在单调递增，在单调递减所以，，又，所以，所以
