成都七中高2019级三诊模拟数学（理科）本卷满分150分；考试时间：120分钟一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集，已知集合，，则A.B.C.D.2.已知为虚数单位，则A.–1B.1C.D.3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A.已知函数在区间内有零点，则B.是与的等比中项C.若是不共线的向量，且，则∥D.已知角终边经过点，则4.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为A.B.C.D.\n5．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为A．B．C．D．6.已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.一个袋中有个红球，个白球，个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则A.B.C.D.8.已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为A.2B.C.D.9．在正方体中，，，分别为，，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为；③平面.其中所有正确结论的编号是A．①B．②③C．①②D．①③10．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，其半焦距为，点在双曲线上,与轴垂直，到直线的距离为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．11．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为\nA．B．C．D．12．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答）14.已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若，，且的面积是，则__________.15.三棱锥中，平面，，，，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为________．16．对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立．则其中所有真命题的序号是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．\n17.已知函数的图像经过点，图像与x轴两个相邻交点的距离为．（Ⅰ）求的解析式：（Ⅱ）若，求的值．18．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为1的等边三角形．（1）证明：；（2）若，求二面角的大小．19．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.20．已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线的距离为.\n（1）求椭圆的方程；（2）过点作与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得为正三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数，其中a，．（1）若直线是曲线的切线，求ab的最大值；（2）设，若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据：）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.（1）若，求线段中点的坐标；（2）若，其中，求直线的斜率.23．设函数，恒成立.（1）求实数的取值范围；（2）求证：成都七中高2019级三诊模拟数学（理科）答案\n一､选择题：CBCDBBDDDAD【详解】显然直线不满足条件，故可设直线：，，，由，得，，解得或，，，，，，解得，直线的斜率的取值范围为.故选：D.B【解析】原不等式可化为，设，则直线过定点，由题意得函数的图象在直线的下方．∵，∴．设直线与曲线相切于点，则有，消去整理得，解得或（舍去），故切线的斜率为，解得．又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，由解得．\n当直线绕着点旋转时可得，故实数的取值范围是．选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14414.15.【详解】由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，如图所示，则，且的最大值是，所以，所以的最小值是，即到的距离为，所以，因为，在中可得，即可得,取的外接圆圆心为，作，所以，解得，所以,取为的中点，所以，由勾股定理得，所以三棱锥的外接球的表面积是.16．①③④【解析】对于①，如图：\n任取，当，，当，，，，，恒成立，故①正确；对于②，，，，故②错误；对于③，的零点的个数问题，分别画出和的图像，如图：和图像由三个交点，的零点的个数为，故③正确；对于④，设，，，，，令在，，可得，\n当时，，，，，若任意，不等式恒成立，即，可得，求证：当时，，化简可得，设函数，则，当时，单调递增，可得，，，即，综上所述，对任意，不等式恒成立，故④正确，故答案为①③④．三、解答题：17.解：（1）由已知得，，则，所以．又，所以，又，所以.所以，即，所以.（2）因为，所以，所以．当时，；当时，.\n所以，或.18．（1）证明：是边长为1的等边三角形，，，是的中点，，即△是等腰三角形，，从而，即．平面，且平面，，又，平面，平面，平面，平面，．（2）解：连接，，．以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，，，，，，，，．设平面的法向量为，，，则，即，\n令，则，，，3，，由（1）知，平面的一个法向量为，，，，，由图可知，二面角为锐角，故二面角的大小为．19．解:（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，则；该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则.（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，则，报考乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3.，，，，随机变量的分布列：0123，因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴，则，\n所以的范围为：.20．解:（1）椭圆：的离心率为，可得故右焦点到直线的距离为.①当时，将代入可得整理可得：即解得：（舍去）或由，可得，即根据可得：椭圆的方程为：②当时，将代入可得整理可得：方程无解椭圆的方程为：（2）过点作与坐标轴不垂直的直线设直线的方程为\n联立直线的方程和椭圆方程可得：，消掉可得：根据韦达定理可得：设线段的中点，则，是正三角形且根据，可得由可得：可得：，解得：设，将其代入可得,可得\n故在轴上是存在点，使得为正三角形，坐标为，21.解：（1）设直线与相切于点．因为，所以所以．又因为P在切线上，所以所以，，因此.设，则由解得.所以在上单调递增，在上单调递减，可知的最大值为，所以的最大值为.（2）方法1：原方程即为，设，则上述方程等价于．设，则函数需有两个不同的零点．因为在上单调递减，且在上存在唯一实根，即，即．所以当时，，当时，．因此在上单调递增，在上单调递减．若，则．，不合题意，舍去．\n若，则．当时，则，取，则；当时，则，取，则．由此，且，.要使函数有两个不同的零点，则只需，所以只需.因为是关于的增函数．且，所以存在使得，所以当时，．因为是关于的减函数，所以又因为，所以的最大整数值为．方法2：原方程即为，设，则原方程等价于关于的方程有两个不同的解，即关于方程）有两个不同的解．设，则.设，由知，所以\n在区间上单调递减，又，所以存在使得.当时，，；当时，，．所以在上单调递增，在上单调递减，所照．要使得关于的方程有两个不同的解，则.当时，设，则，可知在上单调递增，在单调递减．又，，，有两个不同的零点，符合题意．所以的最大整数值为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.解：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．代入曲线的普通方程，得，则，\n所以，点的坐标为．（2）将代入，得，因为，，所以．得．由于，故．所以直线的斜率为．23．解:（1）由题意知恒成立，即恒成立，可得函数在上是增函数，在上是减函数，所以，则，即，整理得，解得，综上实数的取值范围是.（2）由，知，即，所以要证，只需证，即证，\n又，成立.
