雅礼中学2022届模拟试卷（一）数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A，B为全集U的子集，若，则（）A．AB．BC．UD．2．已知复数z满足，则（）A．B．C．D．3．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）A．B．3C．D．4．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|=|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．6．已知，，，则（）\nA．B．C．D．7．已知F1、F2是双曲线E：（，）的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，若，则双曲线E的渐近线方程为（）A．B．C．D．8．已知，对于任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知随机事件A，B发生的概率分别为P（A）=0.3，P（B）=0.6，下列说法正确的有（）A．若P（AB）=0.18，则A，B相互独立B．若A，B相互独立，则P（B|A）=0.6C．若P（B|A）=0.4，则P（AB）=0.12D．若，则P（A|B）=0.310．已知向量a=（，1），b=（，）（），则下列命题正确的是（）A．若，则B．若b在a上的投影为，则向量a与b的夹角为C．是与a共线的唯一的单位向量D．存在，使得11．设，过定点M的直线l1：与过定点N的直线l2：\n相交于点P，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（）A．l1一定垂直l2B．|PM|+|PN|的最大值为C．点P的轨迹方程为D．的最小值为12．直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，点D是线段BC1上的动点（不含端点），则以下说法正确的是（）A．AC∥平面A1BDB．CD与AC1不垂直C．∠ADC的取值范围为D．AD+DC的最小值为第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数（）的图象关于y轴对称，且与直线y=x相切，写出满足上述条件的一个函数______．14．以抛物线（）焦点F为端点的一条射线交抛物线于点A，交y轴于点B，若|AF|=2，|BF|=3，则p=______．15．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，5人的名次排列可能有种______不同情况．（填数字）16．对于集合E={a1，a2，…，a100}的子集X={，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中==…==1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于______；（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1=1，，，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1=1，，，\n则的元素个数为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设数列的前n项和为，满足（）．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求的表达式．18．（本小题满分12分）在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3AB=3．（1）若CA=CD，且cos∠ABC=，求△ABC的面积S；（2）若cos∠DAC=，cos∠ACD=，求BD的长．19．（本小题满分12分）如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA=AB=BC=1，AD=．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD=．（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q−BD−C的余弦值为时，求此时三棱锥Q−BCD的体积．20．（本小题满分12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中，）\n697.900.21600.1414.1226.13-1.40（1）利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型；（2）根据（1）的结果回答下列问题：（i）建立y关于x的回归方程；（ii）样本对原点的距离x=20时，平均金属含量的预报值是多少？（3）已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为（），根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），其线性相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．21．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的上顶点为B（0，1），过点（，0）且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l1交椭圆于异于点B的P，Q两点，以PQ为直径的圆经过点B，线段PQ的中垂线l2与x轴的交点为（，0），求的取值范围．22．（本小题满分12分）\n已知函数，，其中e是自然对数的底数．（1）当时，，求a的取值范围；（2）当时，求证：．雅礼中学2022届模拟试卷（一）数学参考答案一、二选择题题号123456789101112答案CACDCDDCABCBDADAD1．C【解析】因为，所以有，则．故选C．2．A【解析】设，，由得，∴，解得，，∴．故选A．3．C【解析】设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示：则圆锥的体积，所以，即，，则，又，所以，故．故选C．4．D【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差．故选项A正确：∵春分的晷长为，∴，\n∵秋分的晷长为，∴，所以B正确；∵立冬的晷长为，∴，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为，，∴，，∴，故D错误．故选D．5．C【解析】由双曲线的方程，可得，，，可得渐近线方程为，设P在渐近线上，因为，所以P的横坐标为，即有，所以的面积为．故选C．6．D【解析】因为，，所以两式平方相加得，即，又因为，所以，即，，将代入，得，即，\n所以，∴．故选D．7．D【解析】延长与，交于K，连接ON，由题意可得MN为边的垂直平分线，则，且N为的中点，，由双曲线的定义可得，则，即，，可得双曲线的渐近线方程为，即．故选D．8．C【解析】由题意，，，即，故，即，所以，\n∵，∴，，若对于任意的，都存在，使得成立，则，因为，所以，对于A：当时，，的取值不符合条件，故A错误；对于B：当时，，的取值不符合条件，故B错误；对于C：当时，，的取值符合条件，故C正确；对于D：当时，，的取值不符合条件，故D错误．故选C．9．ABC【解析】因为随机事件A，B发生的概率分别为，，对于A，因为，所以A，B相互独立，故A正确；对于B，若A，B相互独立，则，故B正确；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误．故选ABC．10．BD【解析】向量，，\n对A：因为，所以，所以，故选项A错误；对B：因为在上的投影为，即，所以，又，，所以，因为，所以向量与的夹角为，故选项B正确．对C：与共线的单位向量有两个，分别为和，故选项C错误；对D：当，时，，此时向量与共线同向，满足，所以存在，使得，故选项D正确．故选BD．11．AD【解析】对于A：时，直线与垂直；时直线的斜率，的斜率为，因为，所以与垂直，综上，一定垂直，故A正确；对于B：过定点，过定点，在中，设，则．故B错误；对于C：由可得点P轨迹方程为．需要去掉这个点．故C错误；对于D：作，则，\n∴点D轨迹方程为．∵，且的最小值为，∴的最小值为，故D正确．故选AD．12．AD【解析】依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2．对于A，因为，平面，所以平面，故A正确；对于B，当D为的中点，CD与重合，根据正方体的性质可得，故B错；对于C，判断以AC为直径的球与的交点情况，如图3，取AC中点F，则，当时，，所以以AC为直径的球与没有交点，所以，故C错；对于D，将平面翻折至与平面共面，此时点C与重合，所以的最小值为，故D正确．故选AD．三、填空题13．（答案不唯一）【解析】设，∵的图象关于y轴对称，\n∴对称轴，∴，∴，联立，整理得，即，∵的图象与直线相切，∴，∴，∴满足条件的二次函数可以为．14．3【解析】∵，，∴，，∴，∴，由抛物线的定义知，，∴．15．54【解析】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；\n余下3人有种排法．故共有种不同的情况．故答案为：54．16．（1）3（2）33或34（第1空2分，第2空3分）【解析】（1）子集的“特征数列”为1，0，1，1，1，0，0，…，0，所以．（2）P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，1，0，Q的“特征数列”为1，1，0，1，1，0，1，1．0，…，0，1或1，0，1，1，0，1，…，1，1．的元素共33或34个．四、解答题17．【解析】（1）当时，，即，当时，，即，因此，所以，即，经检验，时成立，所以．（2）因为，．\n18．【解析】（1）由，可得，在中，，．由余弦定理，知，所以，即，解得或（舍），所以的面积．（2）在中，因为，，所以，，由正弦定理，所以，又，在中，由余弦定理知，所以．\n19．【解析】（1）如图，延长BA，CD相交于E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l．证明：在中，，，，则，∴．由，，，得平面SAB，又，∴平面SAB，则，由，，，得，∴，可得，又∵，∴平面CSB，即平面CSB．（2）由（1）知，，，．以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，，设是平面QBD的一个法向量，则，取，可得，是平面CBD的一个法向量，由，\n解得，∴点Q是SC的中点，∴．20．【解析】（1）的线性相关系数，的线性相关系数，∵，∴更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型．（2）（ⅰ），，∴，∴y关于x的回归方程为．\n（ⅱ）当时，平均金属含量的预报值为．（3），令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，故时，开采成本最大．21．【解析】（1）由已知条件得：，令，得，由题意知：，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）①当直线PQ的斜率不存在时，显然不合题意；②当直线PQ斜率存在时，设，当时，此时P，Q关于y轴对称，令，，∴，，且，则，又，∴，解得或（含），则，，符合题设．∴此时有；当时，设，，则，得，，\n且，由，即，∴，整理得，解得，（舍去），代入得，∴PQ为，得，，则线段的PQ中垂线为，∴在x轴上截距，而，∴且，综合①②：线段PQ的中垂线在x轴上的截距的取值范围是．22．【解析】（1）因为，则，①当时，由可知，又因为，当且仅当时，等号成立，所以恒成立，且不恒为零，所以函数在上为增函数．又，所以对恒成立；②当时，令，则，当时，，，则，\n所以，函数在上单调递增，因为，，由零点存在定理可知，存在，使得．当时，，此时函数单调递减，故，不合题意．综上所述，．（2）证明：要证，只需证，即证，即证，即证（此时），由（1）可知当时，函数在上恒为增函数，所以即证，不妨令，其中，则．当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故，即，所以原结论得证．
