兰州一中2021-2022-2学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一．单选题（共8小题，每小题5分）rruurrruuurruurrr1．已知向量a,b，且AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是（）A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D2.已知sina-sinb=1，cosa-cosb=-22，a，bÎ(0,p)，则a-b=（）A.-p3B.-p32C．pD．±p36333.下列命题中是真命题的有（）A.一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；B.有A、B、C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30；C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4.rrrrrrrrrr4.已知向量a，b满足a=4,b=(1,22)，且(a+2b)^(3a-b)．则向量a与向量b的夹角是（）A．pB．pC．2pD．5p63365.从2，3，5，7这四个数中任取三个数组成无重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率为（）A.13B.23C.34D.566．2cos20°-cos40°=（）2sin40°A.32rrB.12C．3rrrrrD．13rr7.已知i,j为互相垂直的单位向量，a=-i+2j,b=3i-(l-4)j，且a与a-b的夹角为锐角，则l的取值范围为（）\nA．(0,+¥)B．(0,10)U(10,+¥)C．(-¥,0)D．(-¥,-2)U(-2,0)7.函数f(x)=sinwx+coswx(w>0)在区间ép,pù上单调递减,则实数w的取值范围是（）A．é1,1ùB．æ0,1ùêë2úûC．é1,5ùD．(0,1]êë2úûç2úûêë24úûè二．多选题（共4小题，每小题5分，有漏选得3分，有错选得0分）9．已知事件A,B，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则（）A．如果BÍA，那么P(AUB)=0.4,P(AB)=0.3B.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立，那么P(AUB)=0.7，P(AB)=0.12D.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.42,P(AB)=0.1810.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（）A．从高中生中抽取了440人B．每名学生被抽到的概率为1150C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为53%D.估计高中学生的近视人数约为4400011.下列命题中是真命题的有（）A.存在a，b，使tan(a-b)=tana-tanbB.在DABC中，若sin2A=sin2B，则DABC是等腰三角形C.在DABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件D.在DABC中，若cosA=5，cosB=3则cosC的值为631356512.在DABC中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（）A.若A>B>C，则sinA>sinB>sinCB.若a=40，b=20，B=25°，则满足条件的DABC有且仅有一个C.若a=bcosC，则DABC是直角三角形D.若DABC为锐角三角形，且cos2A-3sinA+2=0.若b+c=6，则DABC外接圆面积3的最小值为9p\n第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题（共4小题，每小题5分）10.已知数据x,x,x,L,x的方差为8，则数据1x+5,1x+5,1x+5,L,1x+5的方123n差为.2122232n14．已知sinæp+aö=2，则cosæ2p-2aö=.63ç÷çèøè3÷øéπù15.关于x的方程3sinxcosx+cos2x=k+1在xÎêë0,2úû上有两个解，则实数k的取值范围为．uuuruuuruuuruuuruuur16.设|AB|=20，若平面上点P满足，对于任意tÎR，有|AP-tAB|5，则PA×PB的最小值为．四、解答题17．（10分）如图，在DABC中，AD=1AB=1，AC=2，ÐBAC=60°，点E是CD的中点，3uuurruuurr记AB=a，AC=b．rruuuruuur(1)用a,b表示CD,AE；(2)求ÐAED的余弦值．18．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在21男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为3，乙校获胜的概率为3，在女生排球比赛中，每12局甲校获胜的概率为3，乙校获胜的概率为3，设各局比赛相互之间没有影响且无平局．(1)求恰好比赛3局，比赛结束的概率；(2)求甲校以3:1获胜的概率．19．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数\n学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值以及这100人中测试成绩在[80，85）的人数；(2)估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和中位数（保留两位小数）；(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．20．已知函数f(x)=-1+23sinxcosx+2cos2x．(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)当xÎé-7p,5pù时，求函数f(x)的值域．ëê1212úû321.如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处-1海里的B处有一艘走私船，3在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以20海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．21.已知DABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且(2a-b)cosC=ccosB(1)求角C；(2)若a=2,b=3,CD为角C的平线，求CD的长；\n(1)若acosB+bcosA=4，求锐角DABC面积的取值范围.高一期中考试数学答案参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACACCABC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDACDACACD三．填空题（共4小题）13．2.．．16．-75．四．解答题（共6小题）17．【答案】(1)，.(2)【解析】(1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可.(2)根据题意，得，，且，由(1)得，，，所以，可以分别求出，然后，直接利用余弦定理即可求出的余弦值(1)因为是的中点，，所以，，..(2)在中，，，，所以，，，且，\n所以，，，是的中点，所以，.因此，在中，，，，利用余弦定理得，.18.【答案】(1)(2)【解析】（1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分两种情况讨论：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜；②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.(1)解：恰好比赛局，比赛结束的情况有：甲校获胜，概率为，乙校获胜，概率为，恰好比赛局，比赛结束的概率．(2)解：甲校以获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，概率为：；②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，\n概率为，甲校以获胜的概率．19.【答案】(1);20；(2)分,76.67分(3)【解析】（1）根据频率之和为1，可求得a的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的人数；（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.(1)由题意得：，解得；这100人中测试成绩在[80，85）的人数为（人）；(2)平均数为：（分），设中位数为m,且，则，解得，故第50%分数位76.67分；(3)第三组频率为，第四组频率为，第五组频率为，故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，三组人数为3人，2人和1人，记第三组抽取的人为,第四组抽取的人为,第五组抽取的人为,则抽取2人的所有情况如下：共15种，其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有共9种，故第四组至少有1名老师被抽到的概率为.20.【【答案】(1)单调减区间是，\n(2)【解析】（1）先对函数化简变形得，由，可求出函数的减区间，（2）由，得，再利用正弦函数的性质可求出函数的值域(1)，，，令，，解得，，所以函数的单调减区间是，；(2由，得，所以，所以，所以函数的值域为21．【答案】缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时.【解析】在中，由余弦定理求得，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得∠BCD，得，由速度公式可得时间．【详解】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，BD=20t海里．在中，由余弦定理，有则.\n又，，∴∠ABC=45°，故B点在C点的正东方向上．∴∠CBD=90°+30°=120°，在中，由正弦定理得，，，∴∠BCD=30°，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在中，∠CBD=120，∠DCB=30°，∴∠CDB=30，.，解得，故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时．22．【答案】(1)(2)(3)(1)解：由及正弦定理得所以∴，∴∵，∴(2)解：设由得.解得，即角平分线的长度为(3)解：设外接圆半径为R，由，即，即，∴所以的面积\n∵，∴，∴∵，，，∴，∴，∴，∴，∴
