河南省实验中学2021--2022学年下期期中试卷高二理科数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，为虚数单位，则的虚部是（ ）A．B．C．D．22．已知函数的导函数为，且，则（ ）A．B．C．D．3．下列说法错误的是（ ）A．由函数的性质猜想函数的性质是类比推理B．由，，…猜想是归纳推理C．由锐角满足及，推出是合情推理D．“因为恒成立，所以函数是偶函数”是省略大前提的三段论4．下列结论正确的个数为（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．1B．2C．3D．45．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）A．B．C．D．6．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ）A．B．C．D．7．设，是复数，则下列命题中为假命题的是（ ）\nA．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8．已知函数，则＝（ ）A．21B．20C．16D．119．已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（ ）A．B．C．D．10．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．11．由数字1、2、3组成六位数，每个数字最多出现三次，则这样的六位数的个数是（）A．420B．450C．510D．52012.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．______.14．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.干支纪年在我国历史学中广泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争､戊戌变法､辛亥革命等等.1911年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度，建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949年中华人民共和国的成立开辟了中国历史的新纪元，从此，中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国家的主人.1911年是“干支纪年法”中的辛亥年，1949年是“干支纪年法”中的己丑年，那么2072年是“干支纪年法”中的______年.15.定义在R的函数满足，的导函数为，则\n.16．已知函数，若对，，都有，则k的取值范围是______．三.解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数）．（Ⅰ）设复数，求；（Ⅱ）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在半径为6m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长|AB|xm，圆柱的体积为Vm3.（Ⅰ）求体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（Ⅱ）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少?19．（本小题满分12分）已知一班有名选手，二班有名选手，现从两个班中选派人参加4×100米接力赛，分别跑1、2、3、4棒，求在下列情形中各有多少种选派方法：（Ⅰ）选取一班选手名，二班选手名；（Ⅱ）二班的选手甲必须被选，且他不能跑第一棒.20．（本小题满分12分）证明下列命题：（Ⅰ）已知是不相等的正数，求证：；（Ⅱ）用数学归纳法证明：（）.21．（本小题满分12分）\n已知，为的导函数.（Ⅰ）设，讨论在定义域内的单调性；（Ⅱ）若在内单调递减，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）若函数的极大值不小于，求实数的取值范围.河南省实验中学2021——2022学年下期期中试卷理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112选项CDCBCCABBDCA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.14.壬辰15.016.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：，．．……………………2分\n又为纯虚数，，解得．．……………………4分（Ⅰ），；…………………………6分（Ⅱ），，……………………7分又复数所对应的点在第一象限，，………………9分解得：．所以实数的取值范围为．………………10分18.解：（Ⅰ）连接，在中，，，设圆柱底面半径为，则，即，…………3分，其中．……………………6分（Ⅱ）由及，得，………………8分当时，，单调递增；当时，，单调递减；………………10分∴当时，有极大值，也是最大值为m3．…………12分19.解：（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①在一班3名选手中选出2人，在二班5名选手中选出2人，有种选法；②将选出的4人安排跑1、2、3、4棒，有种情况，则有选派方法；………………………………6分（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①二班的选手甲必须被选，且他不能跑第一棒，则甲的安排方法有3种，②在剩下7人中选出3人，安排在其他三棒，有种排法，则有种选派方法. ………………………………12分20.（Ⅰ）证明：要证明只需证明\n只需证明 只需证明 只需证明 而已知是不相等的正数，所以成立，故成立. ……………6分 （Ⅱ）证明：①当时，左边，右边，所以等式成立. ……………7分 ②假设当时，等式成立，即成立. 那么，当时， 而，这就是说，当时等式成立. ……………11分 由①, ②可知（）成立.……………12分 21.（Ⅰ）设，其中x>0，则，………………………………2分当时，，故在上为减函数；………………………………3分当时，由可得；若，则，故在上为增函数；若，则，故在上为减函数；………………………………5分综上所述：当时，在上为减函数；当时，在上为增函数，在上为减函数.………………………………6分（Ⅱ）因为在内单调递减，则于恒成立，\n故在恒成立，即.………………………………9分令，则.令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以，经检验可得，时满足条件，因此a的取值范围为.……………………12分22.解：（Ⅰ）解：因为，则，在直线方程中，令，可得，………………………………2分由题意可得，解得.………………………………4分（Ⅱ）因为函数的定义域为，.当时，对任意的，，即函数在上单调递增，此时函数无极值；……6分当时，由，可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，………………………………8分故函数的极大值为，整理可得，………………………………10分令，其中，则，故函数在上单调递增，且，由可得，解得.因此，实数的取值范围是.………………………………12分
