河南省实验中学2021--2022学年下期期中试卷高一数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数（3+i）m﹣（2+i）对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（ ）A．mB．m＜1C．m＜1D．m＞12．已知向量，，若向量与向量垂直，则实数λ＝（ ）A．B．1C．2D．33．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B等于（ ）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A．B．C．D．5．已知两条不同的直线m，n和平面α，下列结论正确的是（ ）①m∥n，n⊥α，则m⊥α；②m∥α，n∥α，则m∥n；③m⊥α，n⊥α，则m∥n；④m与平面α所成角的大小等于n与平面α所成角的大小，则m∥n．A．①③B．①②C．②③D．①④6．已知i，j为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则λ的取值范围为（ ）A．（3，+∞）B．（3，4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3）7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+bcosA＝b，则△ABC是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E为BC的中点，则异面直线CB1与DE所成角的\n余弦值为（ ）A．B．C．D．9．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且（acosB+bcosA）＝2csinB，a＝2．则边长b的取值范围是（ ）A．B．C．（，2）D．10．如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为 A．B．C．0D．211．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积 A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为C．为定值D．不确定，与，的位置有关12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，a•cosC+3c•cosA＝0，则△ABC面积的最大值为（ ）A．1B．C．2D．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若O为△ABC的重心（重心为三条中线交点），且，则λ＝ ．14．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为 ．15．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2i，则|z1﹣z2|＝ ．16．已知体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积最小值为 ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其余试题每题12分）17．已知复数，z2＝4﹣3i，其中a是实数．\n(1)若z1＝iz2，求实数a的值；(2)若是纯虚数，求a的值．18．已知，，且，的夹角为．(1)求；(2)若，求实数k的值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求四面体N﹣BCM的体积．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．(1)求角B的大小；(2)若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求△ABC的周长．\n21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝2，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求直线EB与平面ABC所成的角．22．如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＝1且2csinAcosB＝asinA﹣bsinBbsinC，cos∠BAD．(1)求b边的长度；(2)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求的最小值．河南省实验中学2021--2022高一数学期中考试答案参考答案123456789101112ACDBADDDCBCA13．114．15．216．17.证明:解：(1)∵，z2＝4﹣3i，z1＝iz2，∴（a+i）2＝a2﹣1+2ai＝3+4i，从而，解得a＝2，所以实数a的值为2．……5分\n(2)依题意得：，因为是纯虚数，所以：，从而a＝2或；又因为a是正实数，所以a＝2．……10分18.解：解：(1)∵，，，∴，∴；……6分(2)方法一：，则存在非零实数λ，使，由共面定理得，则k＝±1．……12分方法二：由已知或，当，，，∴，则k＝±1，同理时，k＝±1，综上，k＝±1．……12分19.证明：(1)取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，∴BEBC＝AM＝2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．……6分(2)取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，\n∴NF∥PA，NF2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG＝AM，连结GM，∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC＝MG＝3，又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG的高h，∴S△BCM2，∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM．……12分20.解：(1)因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC，即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac，由余弦定理得，cosB，由B为三角形内角得，B＝120°；……5分(2)由题意得，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，且ABDCBDB＝60°，BD＝1，所以acsinBc•BD•sin60°•BD•sin60°，所以（a+c），即ac＝a+c，因为b＝2，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac，因为（a+c）2＝a2+c2+2ac＝12+ac＝（ac）2，所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍），故△ABC的周长为．……12分21.解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，而AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD；……3分(2)证明：由BD⊥PA，又△ABC为等腰直角三角形，可得BD⊥AC，而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，而BD⊂平面PBD，可得平面BDE⊥平面PAC；……7分(3)由PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEB＝DE，所以PA∥DE，则DEPA，由于PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，\n所以∠EBD为直线EB与平面ABC所成角．因为BDAC＝1，所以tan∠EBD，所以∠EBD＝60°．即直线EB与平面ABC所成角为60°．……12分22.解：(1)由条件，可得：，化简可得：4c＝b，而c＝1，所以：b＝4．……4分(2)设，因为△AEF的面积为△ABC面积的一半，所以xy＝2，设，则，又E，G，F共线，所以设，则，所以：，解得：，所以：，又，所以：，又xy＝2，所以化简可得：，又y≤4，所以，所以，当x＝1时等号成立．……12分
