高三数学试题2022.5本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，用列举法求出全集，再利用补集的定义计算作答.【详解】依题意，全集，而，所以.故选：D2.在正方体中，设直线与直线AD所成的角为，直线与平面所成的角为，则（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角及线面角的定义，可得直线与直线AD所成的角，直线与平面所成的角，从而即可求解.【详解】解：在正方体中，因为，所以直线与直线AD所成的角，\n因为平面，所以为在平面上的射影，所以直线与平面所成的角，又平面，所以，所以，即，故选：C.3.设随机变量，则“”是“”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【3题答案】【答案】B【解析】【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案.【详解】当时，根据正态曲线的对称性可知，故不是的充分条件；反之，若，由对称性可知，故是的必要条件；故是的必要不充分条件，故选：B4.函数在单调递减，且为偶函数．若，则满足的的取值范围是A.B.C.D.【4题答案】【答案】A\n【解析】【分析】先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式，再解含绝对值不等式得结果.【详解】因为函数为偶函数，所以等价于,因为函数在单调递减，所以,,,选A.【点睛】解抽象函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.5.在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】C【解析】【分析】设，，当时，可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解.【详解】解：由题意，设，，当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，\n因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.6.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定【6题答案】【答案】D【解析】【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.【详解】直线，即，由解得，因此，直线恒过定点，又圆，即，显然点A在圆C外，所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.故选：D7.函数的部分图像如图所示，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则的表达式可以为（）\nA.B.C.D.【7题答案】【答案】B【解析】【分析】先由图像中最大值及求出、，再结合及求得，即可求得，最后通过平移伸缩变换得到即可.【详解】由图像可知：；，又，所以；由，可得，解得，又，即，解得，故，，即，将函数的图像向左平移个单位长度得，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍得.故选：B.\n8.已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】D【解析】【分析】由结合外角定理可得，然后可得，再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得.【详解】因为，所以，所以所以，记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，则由椭圆和双曲线定义可得：…①…②①2+②2可得由勾股定理知，，代入上式可得整理得，即所以故选：D\n二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）A.复数为纯虚数B.复数对应的点位于第二象限C.复数的共轭复数为D.复数在复平面内对应的点的轨迹是圆【9题答案】【答案】ABD【解析】【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：因为复数为纯虚数，故选项A正确；对B：复数，因为，所以复数对应的点为位于第二象限，B正确；对C：复数的共轭复数为，故选项C错误；\n对D：复数在复平面内对应的点为，因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.故选：ABD.10.若实数a，b满足，则下列结论中正确是（）A.B.C.D.【10题答案】【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，求出a，b的关系，再利用不等式性质判断A，B；指对数函数、幂函数单调性分析判断C，D作答.【详解】因，则，于是有，A不正确；，即，B正确；由得：，因此，，C正确；因，函数在R上单调递减，函数在上单调递增，则，D正确.故选：BCD11.设函数，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为B.在单调递减C.的图象关于直线对称D.的值城为【11题答案】【答案】AD【解析】\n【分析】求出函数的周期性判断A；讨论在子区间上单调性判断B；举例说明判断C；分段讨论函数并求出值域判断D作答.【详解】依题意，，则的最小正周期为，A正确；当时，令，，而函数在上单调递减，在上单调递减，因此，在上单调递增，B不正确；因，，即图象上的点关于直线对称点不在的图象上，C不正确；当时，，则，当时，，因此，的值城为，D正确.故选：AD12.在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（）A.B.三棱锥的体积为4C.三棱锥外接球的表面积为D.过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为【12题答案】\n【答案】ABD【解析】【分析】将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，对A：由平面即可判断；对B：由即可求解；对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；对D：由最大截面为过球心O的大圆，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆即可求解.【详解】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4长方体，如图所示：对A：因为，，，所以平面，所以，故选项A正确；对B：因为M为BE的中点，所以，故选项B错误；对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，所以三棱锥外接球的表面积为，故选项C正确；对D：过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径，截面圆的面积为，所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，故选项D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.__________．【13题答案】\n【答案】【解析】【分析】根据诱导公式可得，进而根据对数的运算性质及二倍角正弦公式化简即可求解.【详解】解：因为，所以，故答案为：.14.某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为__________．【14题答案】【答案】##【解析】【分析】由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，最后利用插空法即可得3位医生中有且只有2位相邻的排法，从而根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，有种排法，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后插入到2位护士和1位社区工作人员所排成的4个空中的2个空，有种插空方法，最后交换相邻2位医生的位置有种方法，所以3位医生中有且只有2位相邻共有种排法，又6人随机排成一排有种排法，所以所求概率为，故答案为：.15.在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，，\n成等差数列，则的面积的最大值为__________．【15题答案】【答案】【解析】【分析】由，，成等差数列，结合正弦定理可得，进而可得，由余弦定理结合基本不等式可得，，从而根据的面积公式即可求解.【详解】解：因为，，成等差数列，所以，由正弦定理可得，又，所以，即，所以由余弦定理可得，即，又，即，当且仅当时等号成立，所以，即，因为，所以，所以，所以的面积的最大值为.故答案为：.16.某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为__________，编码99共出现__________次．111111…123456…1357911…\n147101316…159131721…1611162126……………………【16题答案】【答案】①.②.6【解析】【分析】观察表中形成的数列，第二项比第一项大1，第三相比第二项大3，第四相比第三项大5，第五相比第四项大7，依此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为2的等差数列，用叠加法可求解第一空；观察可得第行的第个数为，令，则，解出满足条件的m，n即可求解第二个空.【详解】解：设主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…为，因为，，，，，将以上个式子相加，可得；由编码观察可得，第行是首项为1，公差为的等差数列，则第行的第个数为，令，则，所以，或，或，或，或，或\n，所以99共出现6次．故答案为：；6.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，D为AB的中点，求CD的取值范围．【17题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理可得，进而可得，又为锐角三角形，从而即可求解；（2）在中，由余弦定理可得，又为锐角三角形，进而有，又，可得，从而由二次函数的性质即可求解.【小问1详解】解：因，由正弦定理可得，所以，所以，因为，即，\n所以，因为，所以，又因为为锐角三角形，所以；【小问2详解】解：由（1）知，又，在中，由余弦定理可得，因为为锐角三角形，所以，由余弦定理可得，又，所以，解得，所以由二次函数性质可得CD的取值范围是.19.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：单位：人购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计男性501060女性251540总计7525100\n（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．附：，．0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【19题答案】【答案】（1）购车种类与性别有关；（2）X的分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.（2）求出抽取传统燃油汽车的概率、X的所有可能值，利用二项分布求出分布列及期望作答.【小问1详解】设零假设为：购车种类与性别无关，根据数表可得，所以零假设是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.【小问2详解】随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为，被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，依题意，，，\n，，，所以X的分布列为：X0123PX的数学期望.21.已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，，，．（1）求数列和的通项公式；（2）令，抽去数列的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前n项和．【21题答案】【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；（2）由（1）可得，然后分和进行讨论，利用分组求和法及等比数列的前n项和公式即可求解.【小问1详解】\n解：由题意，，整理得，解得或，因为公比，所以，则，所以，；【小问2详解】解：由（1）可得，当时，，当时，，综上，.23.如图，在四棱锥中，底面，底面是等腰梯形，，，E是PB上一点，且．（1）求证：平面；（2）已知平面平面，求二面角的余弦值．【23题答案】【答案】（1）证明见解释\n（2）【解析】【分析】（1）连接交于F，连接EF，证，由线线平行证线面平行即可；（2）作垂直于G，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法，分别设出并求出平面法向量，平面法向量，平面法向量，由平面平面得，可求出值，则二面角的余弦值可由求得【小问1详解】如图，连接交于F，连接EF，，，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，得证【小问2详解】由题，底面是等腰梯形，作垂直于G，，则，，，底面，设，，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，易得，，，\n，，，，，，，设平面法向量，平面法向量，则，令，则，同理，令，则，由平面平面得，得，则，，，设平面法向量，则，令，则，又，所以，故二面角的余弦值为.\n25.已知抛物线在点处的切线斜率为．（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，求实数m的取值范围．【25题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C的方程联立，借助判别式计算作答.（2）设出抛物线C上关于l对称的两点A，B的坐标，并设出直线AB的方程，再与抛物线C的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.【小问1详解】点，则切线方程为：，由消去y并整理得：，依题意，，解得，所以抛物线C的方程是.【小问2详解】设抛物线C上关于l对称的两点为，则设直线AB方程为：，\n由消去y并整理得：，则有，解得，，，显然线段的中点在直线l上，于是得，即有，而，因此，，解得，所以实数m的取值范围是.【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.27.已知函数．（1）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数在上的最小值为a，求证：．【27题答案】【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，原问题等价于对任意恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解；（2）由，令，利用函数单调性及函数零点存在定理可得，存在使得，即，所以，进而可得在上单调递减，在上单调递增，从而可得，即可证明.\n【小问1详解】解：若对任意，恒成立，即对任意恒成立，令，，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以；所以实数m的取值范围；【小问2详解】解：，则，当时，，令，则>0，所以在上单调递增，因为，所以存在使得，即，所以，所以当时，，此时，当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值\n，令，则，所以当时，单调递减，，，所以，所以.
