蚌埠市2022届高三年级第三次教学质量检查考试数学（理工类）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题：，，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，对原命题改量词否结论，即可求得结果.【详解】因为命题：，，则：，.故选：B.2.非零复数满足，则复平面上表示复数的点位于（）A.实轴B.虚轴C.第一或第三象限D.第二或第四象限【答案】C【解析】【分析】设，由可得，分析即得解【详解】由题意，设，故故即复数，在复平面对应的点位于一三象限的角分线上故选：C3.设集合，则的子集个数为（）A.8B.16C.32D.64【答案】A\n【解析】【分析】根据组合数的求解，先求得集合中的元素个数，再求其子集个数即可.【详解】因为，由，，，故集合有3个元素，故其子集个数为个.故选：A.4.已知函数的图像如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】由图象分析函数周期，求得的值.【详解】由图象可知，函数的半周期是，所以，得.故选：C5.2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是（）\nA.2017—2021年全国居民人均可支配收入逐年递增B.2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比C.2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降D.2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过【答案】C【解析】【分析】根据条形图和扇形图结合各个选项逐一分析即可得出答案.【详解】解：根据图1可知2017—2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，故A正确，C错误；根据图2可知，2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比为，交通通信占比为，故B正确；食品烟酒和居住占比分别为由，故D正确.故选：C.6.已知，则的值为（）A.3B.-3C.D.-1【答案】A【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案.\n【详解】原式.故选：A7.如图，扇形中，，，将扇形绕所在直线旋转一周所得几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，旋转体为一个半球，利用球的表面积公式和圆的面积公式，求解即可【详解】由题意，将扇形绕所在直线旋转一周所得几何体为一个以为半径的半球表面积故选：D8.若数列满足：，且.则（）A.19B.22C.43D.46【答案】C【解析】【分析】直接由递推关系式求解即可.【详解】由得，，，，，.故选：C.9.双曲线：的离心率为，点是的下焦点，若点为上支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B\n【解析】【分析】由离心率可得，即知渐近线为，若上焦点为，结合双曲线定义，将问题转化为求最小，若应用数形结合思想判断的位置关系求最值.【详解】由题设，，可得，则双曲线渐近线方程为，若上焦点为，则，故，所以，如下图示：，所以，要使最小，只需共线，即一条渐近线，而到渐近线的距离为，故.故选：B10.如图，在梯形中，且，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且，则的值为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】\n【分析】由向量的线性运算法则化简得到和，结合三点共线和三点共线，得出和，联立方程组，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得，因为三点共线，可得，即；又由，因为三点共线，可得，即，联立方程组，解得，所以.故选：C.11.设，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断的范围，利用和判断出，，再结合正切函数判断出，即可求解.【详解】由，可得，故，即，\n，即，又时，，，故，综上.故选：D.12.已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.【详解】由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得m=8.故选：B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列的前项和为，已知，，则___________.【答案】48【解析】【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，所以，因为，，\n所以，解得，故答案为：4814.设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的焦点到其准线的距离为___________.【答案】2【解析】【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义结合中点坐标公式，推出圆和y轴相切，求出，，代入抛物线方程，求出．【详解】抛物线方程为，焦点，，准线方程为，设，由抛物线性质，可得，因为圆心是的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，由已知圆半径也为，据此可知该圆与轴相切于点，故圆心纵坐标为1，则点纵坐标为2，即，代入抛物线方程得，所以，则的焦点到准线距离为2,故答案为：215.的展开式中的系数为___________.【答案】330【解析】【分析】将看作对象甲，看作对象乙，1看作对象丙，则题设可转化为将个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，再利用组合数的运算即可得解.【详解】将看作对象甲，看作对象乙，1看作对象丙，则题设可转化为将个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，则要得到，则给甲1个元素，给乙1个元素，给丙3个元素，或给甲0个元素，给乙3个元素，给丙2个元素，\n即的系数为，故答案为：330.16.如图，四边形为矩形，，，分别为，的中点，将沿折起，点折起后记为点，将沿折起，点折起后记为点，得到如图几何体，则，两点间的最短距离为___________.【答案】1【解析】【分析】确定折叠过程中的位置及其中的不变量（或轨迹），利用与平面的关系得最小值．【详解】如图，分别取，中点G，H，连接，，，，折叠过程中，始终在过与垂直的平面内（点轨迹是以为圆心，为半径的半圆），点始终在过与垂直的平面内（点轨迹是以为圆心，为半径的半圆），当平面时，P，Q两点间的距离最短，等于与间距离1.故答案为：1.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.蚌埠市某路口用停车信号管理，在某日9：00后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41，\n记，表示第辆车到达路口的时间，表示第辆车在路口的等待时间，且，，，记，表示，中的较大者.（1）从这15辆车中任取3辆，求这3辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；（2）记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：【解析】【分析】（1）用组合知识求解古典概型；（2）求出的可能值及相应的概率，求出分布列及期望.【小问1详解】这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，记“3辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件，则，所以从这15辆车中任取3辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为.【小问2详解】这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，则，所以的可能值为-1，0，1，2，，，，.所以的分布列为-1012\n所以.18.在中，内角，，的对边分别为，，，，点在边上，满足，且.（1）求证：；（2）求角.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意得，然后利用三角形面积公式结合已知条件可得结论，（2）在和利用余弦定理结合可得，再在中利用余弦定理可求得结果【小问1详解】∵，∴，∴，故，∴.【小问2详解】由题意知，，\n在中，由余弦定理得①在中，，在中，，由，知，即②由①②得，，所以19.《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）､两个不平行对面是三角形的五面体.如图，羡除中，是正方形，且，均为正三角形，棱平行于平面，.（1）求证：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过线面平行的性质定理得出，进一步得到，又证得：，则.（2）以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可求出结果.【小问1详解】延长到点，使，连接，，\n∵平面，平面平面，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴.在中，令，则，，∴，∴，即.∴.【小问2详解】分别取，，的中点，，，连接，，，，，设，连接，∵为正三角形，是中点，∴，∵，，∴，∴平面，平面平面，∵，平面平面，∴平面，∴，.\n分别以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，则，，，，，，，，，，设平面的法向量，则，，令，则，设平面的法向量，则，，令，则，，∴，即二面角的平面角为.20已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】\n【分析】（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）解法一：令，由，，再论证时，，成立即可；解法二：将问题转化为，在上成立，令，用导数法求解.【小问1详解】解：函数定义域为，，则，，所以切线方程为，即.【小问2详解】解法一：记，由，得，即.当时，由，，令，则，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，，即.综上可知，.解法二：\n由条件知，，在上成立，所以，在上成立，记，则，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，，则实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；；21.如图，椭圆：内切于矩形，其中，与轴平行，直线，的斜率之积为，椭圆的焦距为2.\n（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上的点，满足直线，的斜率之积为，其中为坐标原点.若为线段的中点，则是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为【解析】【分析】（1）由题意求出直线，斜率，即可求出，又因为焦距为2，即可就出椭圆的标准方程.（2）方法一：联立直线与椭圆的方程由可求出，又因为：，又点，在椭圆上，代入即可求出答案.方法二：由，是椭圆上的点，可得，联立直线与椭圆的方程由可求出，代入化简得，即可求出答案.【小问1详解】由题意，，则，所以，，所以，\n解得：，，∴椭圆的标准方程为.【小问2详解】（方法一）设，，则.设直线：，由，得：，，由，得，代入化简得：.∵，又点，在椭圆上，∴，，即，∵，∴.∴.即为定值.（方法二）由，是椭圆上的点，可得，把代入上式，化简，\n得，，.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线上有一动点.（1）若点（不是极点）的极角，点的极坐标为，求；（2）设点为曲线：上一动点，若的最小值为2，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得的极坐标，结合已知的极坐标，利用余弦定理即可求得结果；（2）求得曲线的直角坐标方程，根据直线上一动点到圆上一点距离的最小值的求解方法，带值计算即可.【小问1详解】由题知点的极径，所以点的极坐标为，故.【小问2详解】在直角坐标系中，，，即，\n故曲线的直角坐标方程为：，即.∵，∴，即，故.在直角坐标系中，曲线是以为圆心，为半径的圆，∴圆心到直线的距离为，由题意，的最小值为，故又，所以的值为4.23.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数t取值范围；（2）若，求函数的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对分，两种情况讨论即可；（2）化简的解析式，分别求出每个分支的值域，从而得到最小值.【小问1详解】（1）由：若，则对任意，都有：此时函数在上单调递增，故满足条件.②若，则时：故此时函数在上单调递减，不满足条件.\n综上，实数t的取值范围为.【小问2详解】由，故：①若，则：②若，则：③若，则：④若，则：综上可知，当时，函数取得最小值。
