20220607项目第三次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（）A.若不是偶数，则，都不是奇数B.若，都不是奇数，则不是偶数C.若，都是偶数，则是奇数D.若不是偶数，则，不都是奇数3.若复数的实部和虚部均为整数，则称复数为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数，使也是高斯整数.其中正确的命题有（）A.①②④B.①②③C.①②D.②③④4.某工厂研究某种产品的产量（单位：吨）与某种原材料的用量（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示：34672.5345.9\n根据表中的数据可得回归直线方程，有下列说法：①与正相关；②与的相关系数；③；④产量为8吨时预测原材料的用量约为6.19吨.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.45.某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A.B.C.D.6.已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.直线7.已知实数，，满足，则下列关系式不可能成立的是（）A.B.C.D.8.科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，.当时，.若，则数列中的项是七位数的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个9.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，.，分别为线段，上的动点，，则的最小值为（）A.B.C.D.10.已知双曲线：的左、右焦点分别是，，\n是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.3D.411.设，，（为自然对数的底数），若不是函数的极值点，则的最小值为（）A.B.C.D.12.已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则向量与的夹角为__________.14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为__________.15.已知函数的最大值为-1，则实数的取值范围是__________.16.已知函数，现有以下说法：①直线是图象的一条对称轴；②在单调递增；③，.则上述说法正确的序号是__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.\n17.（12分）已知数列为等比数列，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（12分）如图，正方形所在的平面与菱形所在的平面互相垂直，为等边三角形.（1）求证：；（2），是否存在，使得平面平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.19.（12分）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，与平行的直线交椭圆于，两点，直线，分别于轴正半轴交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：为定值.20.（12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果互相独立.（1）求甲夺得冠军的概率；（2）比赛开始，工作人员买来一盒新球，共6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为，求随机变量的分布列与数学期望.21.（12分）已知函数.（1）当时，判断的单调性；\n（2）若时，设是函数的零点，为函数极值点，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知直线和曲线交于，两点，设点，求.23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，已知不等式恒成立.（1）求的最大值；（2）设，，求证：.20220607项目第三次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案ADACCCDBCBBC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.14.-315.16.①②三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.17.【解析】（1）因为，所以，\n两式相除可得，即，因为，所以，可得，所以，所以.（2），则①②①-②可得：，故.18.【解析】（1）连接交于，因为四边形为菱形，所以，又正方形所在的平面平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以；（2）存在.以为原点，，的方向为轴，轴，过点作菱形所在的平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为，设点，则，所以点，，，设平面的法向量为，\n则有，可得，，，设平面的法向量为，则有，可得，由可得.19.【解析】（1）由题意，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）因为直线的斜率为，则设直线的方程为，，，联立，化简得，或，∴，，直线的方程为：，\n令，则，同理可得，则.20.【解析】记事件“甲在第局比赛中获胜”，（），事件“甲在第局比赛中未获胜”，（），显然，，（），（1）记事件“甲夺得冠军”，则.（2）设甲乙决出冠军共进行局比赛，易知或，，，记事件“第局比赛后抽到新球”，事件“第局比赛后抽到旧球”，由题意知，比赛前盒内有6颗新球，比赛1局后，盒内必然为5颗新球，1颗旧球，此时，，若发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，此时，，若发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，0颗旧球，则下次必取新球，此时，于是，\n，，∴的分布列为345∴的数学期望.21.【解析】（1）当时，，所以，，因为在单调递增，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即在单调递增.（2）由于，设，，当时，，则在为减函数；当时，，则在为增函数；因为，当，，所以存在，使得，即，所以，所以在为减函数，在为增函数，当，，所以在区间必存在一个零点，，\n设，则，所以在为增函数，，所以，根据零点存在判定定理可知，即.22.【解析】（1）直线：，曲线：.（2）将代入曲线的普通方程可得：，则，，故.23.【解析】（1）由的图象可知，则.（2）即证.令，，解得，，则，即.
