2021~2022年度河南省高一年级阶段性考试（四）数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义求解.【详解】解：因为复数，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B2.某校羽毛球社团中，高一年级有m名学生，高二年级有12名学生．现用等比例分层随机抽样的方法抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了3名，高一年级被抽取的人数是高二年级被抽取人数的3倍多1，则（）A.40B.36C.28D.16【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样建立等式后可求解.【详解】由题意，可知高一年级被抽取的人数是，\n所以根据等比例分层随机抽样有故选：A3.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（）A.6B.7C.8D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理直接计算可得.【详解】由余弦定理可得：即，解得或（舍去）故选：B4.我国历次人口普查中全国人口年均增长率分别为，则这组数据的第60百分位数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将数据从小到大排列，依据百分位数的定义求得答案.【详解】将从小到大排列为：由于，故这组数据的第60百分位数是，故选：C5.水平放置的长方形在直角坐标系中的位置如图所示．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的面积为（）\nA.B.2C.D.4【答案】C【解析】【分析】由斜二测画法作出直观图，然后直接求解可得.【详解】由斜二测画法可知，四边形为边长为2的菱形，其中，所以四边形的面积为.故选：C6.已知向量与的夹角为，且，则（）A.B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】对两边平方，结合数量积公式得出.【详解】解:向量,夹角为,且,∴,即,\n解得或（舍）,∴,故选：C7.下面两个扇形统计图分别统计了某地2019年和2021年居民人均消费支出的构成情况，已知2019年当地居民人均消费支出为2万元，2021年当地居民人均消费支出为2.4万元．下面说法正确是（）A.2021年当地居民食品烟酒类的人均消费支出比2019年多B.2021年当地居民居住类的人均消费支出和2019年相等C.2021年当地居民教育文化娱乐类的人均消费支出比2019年少D.2021年当地居民其他类的人均消费支出比2019年多【答案】D【解析】【分析】根据题中的数据及每一个选项的消费类别分别计算即可判断出答案.【详解】对于A，2021年当地居民食品烟酒类的人均消费支出比2019年多，故A不正确；对于B，2021年、2019年当地居民居住类的人均消费支出分别为万元、万元，显然不相等，故B不正确；对于C，2021年、2019年当地居民教育文化娱乐类的人均消费支出分别为万元、万元，故C不正确；对于D，2021年、2019年当地居民其他类的人均消费支出分别为万元、万元，所以D正确.故选：D\n8.在等边中，O为重心，D是的中点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答.【详解】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，E为BC中点，则有，而D是的中点，所以.故选：D9.某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表\n示出，化简可得.【详解】在中，由正弦定理可得在中，易知，则整理可得故选：D10.已知正四面体，E，F，G分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算，由余弦定理求得答案.【详解】如图，设H为CD的中点，连接GH,AH,则,由题意知,故，则即为异面直线与所成角或其补角，设正四面体的棱长为2，则,故,\n即异面直线与所成角的余弦值为，故选;A11.飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．在四边形中，，，，，点P是八边形内（不含边界）一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定图形，求出在方向上的投影向量长的范围即可计算作答.【详解】在四边形中，，，，则，且，过D，H分别作直线OA的垂线，垂足分别为N，M，如图，依题意，，，因此，，\n对任意点P，过P作于Q，而点P是八边形内（不含边界）一点，当点P在四边形和四边形内时，，当点P在四边形和四边形内时，，显然，，而，则，当点P在四边形内时，，则，当点P在四边形内时，，则，当点P在四边形内时，，则，当点P在四边形内时，，则，所以的取值范围是.故选：B12.已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，且二面角为，则三棱锥内切球的半径为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可求得三棱锥的高，进而求得其体积，再根据等体积法即可求得内切球的\n半径.【详解】如图，设D为AB的中点，连接CD,,则,故为二面角的平面角，即，由于，为正三角形，故，则为正三角形，，设三棱锥的高为h,则，故，设三棱锥内切球的半径为r,则，故，故选：B第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若数据1，2，3，…，9，x的方差为7，则数据2，3，…，9，10，的方差为_________．\n【答案】7【解析】【分析】根据给定条件，利用方差的定义计算作答.【详解】令数据1，2，3，…，9，x的平均数为，则数据2，3，…，9，10，的平均数为，显然，数据2，3，…，9，10，中的每个数与差的平方同数据1，2，3，…，9，x中的每个数与差的平方对应相等，则数据2，3，…，9，10，的方差和数据1，2，3，…，9，x的方差相等，所以数据2，3，…，9，10，的方差为7.故答案为：714.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，且其侧面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】由圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，得到，求出即为母线，从而得到底面半径，求得圆锥的高，继而求得圆锥的体积．【详解】圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，半径设为R，,所以，，因为即为圆锥母线，设圆锥底面圆半径为r，则，底面半径，所以圆锥的高为，故圆锥的体积为．故答案为：．\n15.已知复数是关于x的方程的一个根，若，且，则_______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件设出复数，根据复数的模及一元二次方程在复数域存在互为共轭复数的两个虚根，再结合韦达定理即可求解.【详解】设，，，解得或（舍）..因为复数是关于x的方程的一个根，所以方程的两根分别为，，则，解得.所以.故答案为：.16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则面积的最大值为_______________．【答案】【解析】【分析】由题知，进而得，再根据正弦定理得，进而结合三角形面积公式得，最后根据基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，因为，所以，\n因为，所以，所以，因为，，所以，因为，所以因为，所以，，当且仅当时等号成立.所以面积的最大值为.故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.小明从一家零食店购买了十袋某零食，每袋该零食的标准质量是．为了了解这些零食的质量情况，称出各袋零食的质量（单位：g），得到如下数据：48494950505051525353（1）求这十袋零食的平均质量及标准差．（2）这十袋零食中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有多少袋？所占百分比是多少？（参考数据：取）【答案】（1）平均质量；标准差（2）7袋；【解析】【分析】（1）根据求平均值及标准差公式直接求解即可；\n（2）求出1倍标准差的范围，数出袋数，求出占比即可.【小问1详解】平均质量，标准差【小问2详解】以平均数为中心，1倍标准差的范围，在范围内的有49、49、50、50、50、51、52共7袋，占.18已知向量．（1）若，求的坐标；（2）若，求与夹角的余弦值．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意列出方程，即可解得答案;（2）由结合条件求得，根据向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】设，则因为，故，解得或，故的坐标为或；\n【小问2详解】由题意，由可得：，即，故.19.如图，在直三棱柱中，，E，F分别是的中点．（1）证明：∥平面．（2）求点C到平面的距离．【答案】（1）详见解析.（2）【解析】【分析】（1）取的中点G，连接EG，FG，易得四边形EGFA是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据，利用等体积法求解.【小问1详解】证明：如图所示：\n取的中点G，连接EG，FG，则，且，所以四边形EGFA是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】因为，又，所以平面，因为，所以平面，则，因为，所以，，则，因为，所以，解得，\n即点C到平面的距离为：.20.为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某校组织了高一年级学生进行防疫知识测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）试估计本次防疫知识测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）该校准备对本次防疫知识测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？（结果保留一位小数）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由频率之和等于1得出的值；（2）由频率分布直方图数据计算平均数即可；（3）设受嘉奖的学生分数不低于分，由得出.【小问1详解】由，解得【小问2详解】故本次防疫知识测试成绩的平均分为【小问3详解】\n设受嘉奖的学生分数不低于分，因为对应的频率分别为，所以，解得.故受嘉奖的学生分数不低于分.21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，．（1）求角A；（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形外心的定义和向量数量积的几何意义对条件化简，然后利用正弦定理边化角，整理化简可得；（2）先求外接圆半径，结合（1）和正弦定理将三角形周长表示为角C的三角函数，由正弦函数性质可得.【小问1详解】过点O作AB的垂线，垂足为D，因为O是的外心，所以D为AB的中点所以，同理所以，由正弦定理边化角得：所以整理得：因为，所以\n所以，即又，所以，得【小问2详解】记外接圆的半径为R，因为外接圆的周长为，所以，得所以周长由（1）知，所以因为，所以所以所以，即所以周长的取值范围为22.如图1，直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现在沿着将折起到位置，得到如图2所示\n的四棱锥．（1）证明：．（2）若为棱中点，试问线段上是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）在梯形中，连接，证明出为菱形，在四棱锥中，取的中点，连接、、，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，，利用线面垂直的判定和性质定理可证得结论成立；（2）取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点，证明出，过点在平面内作交于点，计算出的长，可计算出的长，分析出为的中点，即可求得的长.【小问1详解】证明：在梯形中，连接，如下图所示：因为，，则，\n因为，，，边上一点满足，则，，所以，，因为且，所以四边形为菱形，在四棱锥中，取的中点，连接、、，因为，为的中点，所以，，同理可证，，所以，平面，平面，【小问2详解】解：取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点，连接，下面证明出，因为、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，因为，平面，平面，平面，，所以，平面平面，所以，平面，平面，，过点在平面内作交于点，因为，，由余弦定理可得，则，\n所以，，则，，则，，，则，，所以，，所以，，，，因为且直线、相交，所以，四边形为梯形，因为为的中点，，则为的中点，故.因此，在线段上存在点，使得，且.
