2022届普通高中模拟考试（河北）数学（考试时长：120分钟总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A．B．C．D．2．复数的虚部为（）A．B．C．D．3．下列函数中，在上是增函数的是（）A．B．C．D．4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若A、B两点横坐标的等差中项为2，则（）A．8B．6C．D．45．是成立的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．将扇形的圆弧拉直后，恰得一边长为2的等边三角形，利用泰勒公式的前三项，求扇形中（）\nA．B．2C．D．7．西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安（西安古称）城示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是（）A．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条．B．甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若二人选择互不影响，则二人从同一城门进城的概率为．C．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色（街道忽略），要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法．D．若将街道看成直线，则图中矩形区域中共有不同矩形150个．8．已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（）A．B．2C．D．不确定二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（）\nA．甲组数据中位数大于乙组数据中位数B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数10．已知m，n为异面直线，平面，平面．若直线l满足，则（）A．B．C．与相交，且交线平行于lD．与相交，且交线垂直于l11．已知，函数，则下列选项正确的是（）A．函数的值域为．B．将函数图像上各点横坐标变为原来的1/2（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，可得函数的图像．C．函数是偶函数．D．函数在区间内所有零点之和为．12．已知函数，则下列选项正确的是（）A．函数单调递增．B．函数只有一个零点．C．函数有两个极值点．D．当时，方程只有一个实根．第Ⅱ卷（非选择题共90分）\n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式的常数项是______________．14．若是奇函数，当时，，则___________．15．将两个半径均为的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为_________．16．中国元代数学家朱世杰1303年左右完成的数学著作《四元玉鉴》中好多方法，在当时世界上遥遥领先．如该书下卷“果垛垒藏”这一章中的第七问，可体会到中国元代数学已经发展到什么程度，今有圆锥垛，果子积九百三十二个，问高几层？术曰：立天元一为层数．如积求之，得七千四百五十五为益实，二为从方，三为从廉，二为正隅．立方开之，合问．这个问题意思是说，把圆的果实（如桔子）堆垒成圆锥垛，（圆锥垛特点：下一层果实之间的缝隙所构成的行数要等于上一层果实的行数，使得上一层果实恰好放到下一层果实的缝隙上）现在堆垒了932个果实，问堆垒了多少层？解决如下：设未知量（天元一）为圆锥垛的层数，利用总数（积）列方程求之，可以得到常数项（益实）为，一次项系数（从方）为2，二次项系数（从廉）为3，三次项系数（正隅）为2的三次方程，开立方就能得到层数．也就是说层数为方程：的解．根据你的分析，圆锥垛第五层有果实_________个，932个果实堆垒了__________层．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列的前n项和，数列为等差数列，且（1）求数列的通项公式．\n（2）求证数列的前n项和．18．（12分）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且．（1）求a的值．（2）若，求角A最大值．19．（12分）如图所示，在三棱锥中，平面平面，且为正三角形，为等腰直角三角形，．（1）D为中点，求证：平面．（2）求二面角的余弦值．20．（12分）已知为椭圆的左右顶点，，椭圆C的离心率为．（1）求C的方程．（2）斜率为1的直线l与抛物线相切，且与C相交于M、N两点，求四边形的面积．21．（12分）截至2021年12月，中国网民规模达10.32亿人，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻．2021年6月，公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统一“国家反诈中心APP”，这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件，用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生，减少不必要的财产损失，某省自“国家反诈中心APP”推出后，持续采取多措并举的推广方式，积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作．经统计，省反诈中心发现全省网络诈骗举报件数y（件）与推广时间有关，并记录了经推广x个月后举报件数的数据：推广月数（个）1234567y（件）891888351220200138112（1）现用作为回归方程模型，利用表中数据，求出该回归方程．\n（2）分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗？参考数据（其中）：15860.3740.55参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．22．（12分）（1）时，证明：；（2）直线与函数分别交于A、B两点，与函数分别交于C、D两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证．2022届普通高中模拟考试（河北）数学参考答案1．B2．A3．D4．B5．C6．C【解析】扇形的圆弧长为2，，所以，由的前三项，得．故选C．7．C【解析】从延平门到安化门，最近路线是右图中从，点M到，点N，只能横向往右走纵向往下走，所以答案为，故A正确．\n甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因二人选择互不影响，所以两人进城共有9种不同情况，二人从相同城门进城有3种情况，则二人从同一城门进城的概率为故B正确．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同有种染色方法，若1与4颜色相同有种染色方法，若2与3颜色相同有种染色方法，若1与4颜色相同且2与3颜色相同有种染色方法，综上共有84种．故C错误．若将街道看成直线，则在矩形区域网格的5条横线中任取两条，6条竖线中任取两条，即可围出一个矩形，所以共有矩形个不同的矩形．故D正确．8．A【解析】函数的图像绕原点顺时针旋转得到双曲线方程为，由双曲线定义得A正确．9．BCD10．BC11．AD12．BD【解析】已知函数，当时，函数在单调递增，当时，画数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，故A不正确．，得，即，当时，方程有一解，所以只有一个零点，故B正确．\n，当时，函数只有一个解，故C不正确．当时，方程，得，设，得，得，画出函数的图像，可知，只有一个解．故D正确．13．1514．15．16．1915【解析】法一：由题意可知，第一层1个，第二层有3个，第三层7个．第四层12个，第五层19个，得到一数列：1，3，7，12，19，27，37，48，61，75，91，108，127，147，169，192……．（可分奇数项规律和偶数项规律分别考虑）法二：由方程，得，即，因为x为正整数，且可知，x必为7455的正整数因数，验证是方程的解．17．解：（1）当时，（2分）当时，（3分）∵∴数列的通项公式为（4分）（2）∵为等差数列，∴（6分）设∴的前n项和为\n（8分）（9分）∵，∴∴（10分）18．解：（1）由题意知：由正弦定理得：（2分）∴（4分）（2）由余弦定理得：（5分）∵∴（7分）∴∴（8分）当且仅当时，取等号．（不写扣2分）∴（10分）即∵∴A的最大值为．（12分）\n19．解：（1）∵平面平面，且∴∴平面（2分）平面∴（3分）为正三角形且D为中点∴（4分）∴平面（5分）（2）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过A与平面垂直的直线为z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系．设则（7分）所以设是平面的法向量，则即可取（9分）由（1）知，为平面的法向量，则（11分）所以二面角的余弦值为．（12分）20．解：（1），得，（1分）\n又∵C的离心率为，∴∴（3分）得C的方程为（4分）（2）设l方程为由l与联立得∵l与相切（6分）得，∴直线l方程为．（7分）（也可以利用求导的方法求切线l）将代入消去x得（8分）设则∵（10分）∴（12分）21．解：（1）由题意．（2分）令，设y关于t的线性回归方程为直线\n则（5分）则，（6分）∴，又，∴y关于x的回归方程为（8分）（2）仅从现有统计数据所得回归方程，可发现当推广时间越来越长时，即x越来越大时，y的值会逐渐降至接近于30，可知该省一直加大力度推广下去，网络诈骗举报件数大概会逐渐降至30件．（10分）但在使用经验回归方程进行预测时，方程只适用于所研究的样本总体，一般具有时效性，不能期望回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值，所以若加大力度一直推广下去，并随着国家对网络诈骗的严厉打击和科技发展，再加上相关部门对个人信息防护手段的加强，人们对网络诈骗犯罪的防范意识逐步提高，网络诈骗举报件数是有可能降至接近于零的．（答案仅供参考，可根据学生回答情况酌情给分）（12分）22．解：（1）证：不妨设，则欲证即证（2分）．（4分）令，\n所以在单调递增，而∴当时，即即（6分）（2）由题意，不妨设则欲证：即证（7分）由（1）知取（8分）令\n∵，∴得在单调递增，又∵，∴即在单调递增．∵∴（10分）即∴又∴∴原不等式得证．（12分）
