\n\n2022年全国新高考I卷模拟试题数学参考答案及评分标准一、选择题BCACDDAB二、选择题9.AD10.ABD11.BD12.BCD三、填空题113.xx/sin/等14.−215.−7或116.12π，15−3x四、解答题217.解：（1）因为baACcA=2coscos+2cos，由正弦定理得：2即sinB=2sinAACcoscos+2sinCAcos，……………………………………1分即sinB=2cos(sinAACCAcos+sincos)，即sinB=2cossin(AAC+)，因为ABC++=π，所以AC+=−πB，所以sinB=2cossinAB.……………………………………………………………3分因为B∈(0,π)，所以，sinB≠0，1π所以cosA=，因为A∈(0,π)，所以A=.………………………………………5分23a83（2）由正弦定理得：=，………………………………………………6分sinA38383π所以，cb−=2(sinC−2sin)B=(sin(π−−−B)2sin)B3338333=(cosBB−sin)322ππ=8(coscosBB−cossin)33π所以cb−=28cos(B+).……………………………………………………………8分32πππ因为B∈(0,)，所以B+∈(,π)，333π1所以cos(B+∈−)(1,)，……………………………………………………………9分32所以，cb−∈−2(8,4).………………………………………………………………10分高三数学答案（第1页，共6页）\nx218.解：（1）由题知，u=bx+lna，且u=4.75，x=3.5，∑xi=91.…………2分i=1n∑xuii−nxu106.0563.54.75−××所以，bˆ=i=1==0.36，………………………4分n2229163.5−×∑xi−nxi=1又u=bxˆ+lna，即4.75=×+0.363.5lna，3.49所以，lna=3.49，所以a=e.…………………………………………………5分0.36x+3.49所以，y关于x的经验回归方程为y=e.………………………………6分（2）由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5,7,9,12，…………………………7分1414所以，PX(=5)=,PX(==×=7),55525421164364PX(==9)()×=，PX(=12)=()=，………………………10分551255125所以，X的分布列为X56912141664P5251251251416641177所以，EX()=×+×+×569+×12=……………………………12分525125125125219.解：（1）当n≥2时，S=aS−a，nnnn2所以，SSSSSS=−()−−()，……………………………………………1分nnnnnn−−1111整理得：SS=S−S，即−=1.………………………………………3分nn−−11nnSSnn−1111所以数列{}是以==2为首项，1为公差的等差数列.……………………4分SSan1111所以=+n1，即S=.………………………………………………………5分nSn+1nn2n（2）由（1）知，=+⋅(n1)2，…………………………………………………6分Sn高三数学答案（第2页，共6页）\n21nn−所以T=⋅+⋅++⋅2232Lnn2++⋅(1)2，①n23nn+1所以2T=⋅+⋅++⋅++⋅2232Lnn2(1)2，②n23nn+1①−②得，−=++++−+⋅Tn4(22L2)(1)2，n23nnn++11所以，−=++++−+⋅=−⋅T4(222)(nn1)22，……………………8分nn+1所以，Tn=⋅2，…………………………………………………………………9分n22nnn+12(nn+9)9所以λTn≤+⋅(9)2，即λnn⋅≤+⋅2(9)2，即λ≤=+，n2nn22nn99因为+≥⋅=23，当且仅当n=3时，等号成立，……………………11分22nn22所以λ≤3.………………………………………………………………………………12分20.解：（1）证明：取DC的中点M，连结MFMQ,.P则MQPDMF//,//DA.………………………………1分AB因为MQ⊄面PAD，MF⊄面PAD，FEQ所以，MQ//面PAD，MF//面PAD，CDM因为MQMF=M，所以，面MQF//面PAD，………………………………3分因为FQ⊂面MQF，所以FQ//平面PAD.………………………………………4分（2）取AD的中点O，连结OPOC,，因为∆PAD为正三角形，AD=2，所以OP⊥AD且OP=3，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠=DAB90，AB=22BC=，所以，OC⊥AD且OC=2，又因为PC=7，222所以在∆POC中，OP+=OCPC，即OP⊥OC，……………………………5分uuuruuuruuur所以，以O为坐标原点，分别以ODOCOP,,的方向为xyz,,轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，…………………………………………………………………6分高三数学答案（第3页，共6页）\n则D(1,0,0)，C(0,2,0)，F(1,1,0)−，P(0,0,3)，uuurDP=−(1,0,3).………………………………7分zPDE1uuur1uuur13因为=，即DE=DP=−(,0,)，λ>0，PE2333AFBEQ23所以，E(,0,)，………………………………8分O33CyDMuuur23uuur53x所以EC=(−−,2,)，EF=(−−,1,).3333设n=(,,)xyz为平面EFC的一个法向量，111uuur23−+−=xyz20ngEC=033111则uuur，即，取n=−−(3,3,83).……………10分ngEF=053−+−xyz=033111又平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0)，设平面EFC与平面PAD夹角为α，|nm|g3210则cosα===.……………………………………11分|n||m|⋅99192++70210所以平面EFC与平面PAD夹角的余弦值为.……………………………12分702c221.解：（1），因为椭圆C的离心率为，所以，=.……………………………1分2a2又当T位于上顶点或者下顶点时，∆TFF面积最大，即bc=1.…………………2分12222又abc=+，所以，bc==1，a=2.…………………………………………3分2x2所以，椭圆C的标准方程为+=y1.……………………………………………4分21（2）由题知，直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=kx+，设Mxy(,)，112Nxy(,)，2222将直线l代入椭圆C的方程得：(4k+2)x+−=4kx30，高三数学答案（第4页，共6页）\n−4k−3由韦达定理得：xx+=，xx=，………………………………6分12212242k+42k+y−1y−112直线AM的方程为yx=+1，直线AN的方程为yx=+1，xx12−x−x12所以，P(,0)，Q(,0)，…………………………………………………7分y−1y−112xx122所以，以PQ为直径的圆为(xxy+)(+)+=0，……………………8分yy−−111222x1x2xx12整理得：xy++()+x+=0.①……………………9分yy−−11(yy−−1)(1)1212xxxx4xx121212因为==(1)(1)11422()1y−−ykxx−++kxx12(kx−−)(kx)12121222−12==−6，……………………………………………………11分222−+++12kkk8422令①中的x=0，得y=6，所以，以PQ为直径的圆过定点(0,±6).………12分22.解：（1）函数fx()的定义域为(1,−+∞)，xx1ax(+−1)e1fxa′()=−=e.…………………………………………………1分xx++11xx令gxax()=+−(1)e1，x>−1，则gxax′()=e(+2)，x因为x>−1，所以e0>，x+>20，所以，当a>0时，gx′()0>在(1,−+∞)上恒成立，所以函数gx()在(1,−+∞)上单调递增，所以，gxg()>−=−<(1)10.又当x→+∞时，gx()→+∞，所以，存在唯一的x∈−+∞(1,)，使得gx()0=，…………………………………3分00所以，当xx∈−(1,)时，gx()0<，即fx′()0<，所以函数fx()在(1,−x)上单调00递减，当xx∈(,)+∞时，gx()0>，即fx′()0>，所以函数fx()在(,)x+∞上单调00递增，…………………………………………………………………4分所以函数fx()存在唯一的极值点.……………………………………………5分高三数学答案（第5页，共6页）\nx（2）不等式fx()≥−cos(a1)恒成立，即ϕ()xa=−eln(x+−1)cos(a−≥1)0在(1,−+∞)上恒成立.令ha()=a−−cos(a1)，a∈R，所以ha′()=+1sin(a−≥1)0，所以ha()在(,)−∞+∞上单调递增，…………………………………………6分又h(1)=−1cos(11)−=0，所以，当x=0时，ϕ(0)=−aacos(−≥1)0恒成立，即ha()≥h(1)，所以a≥1.………………………………………………………………………………7分x1因为ϕ′()xa=e−，x+1x当a=1时，ϕ()xe=−+−ln(x1)1≥+−(x1)1ln(−+=x1)xx−+≥ln(1)0，当且仅当x=0时取等号.…………………………………………………………………………8分x1当a>1时，ϕ′′()x=ae+>0，所以ϕ′()x在(1,−+∞)上单调递增，且2(x+1)11−1ϕ′(0)=−>a10，ϕ′(−=1)aea−<−=aaa0，所以∃∈−x(1,0)，使得ϕ′()0x=，00ax1即ae00−=，即xax+=ln−+ln(1)，所以，当xx∈−(1,)时，ϕ′()0x<，000x+10ϕ()x单调递减；当xx∈(,)+∞时，ϕ′()0x>，ϕ()x单调递增，……………………10分0x1所以，ϕϕ()x≥=−+(x)ae0ln(x1)cos(−−a1)=+x+−−lnacos(a1)000x+101=+++1xaaln−cos(−−>+1)11lnaa−cos(−≥1)0.…………………11分0x+10所以，a的取值范围为[1,+∞).………………………………………………………12分高三数学答案（第6页，共6页）
