秘密★启用前理科数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的模是（）A．B．C．0D．12．已知集合，，则集合B中元素的个数是（）A．1B．4C．3D．23．从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（）A．16种B．192种C．96种D．32种4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为．则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．5．已知一个三棱锥的三视图如图1所示，正视图为正方形，侧视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体的体积是（）A．12B．2C．4D．66．已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件\nC．必要不充分条件D．充要条件7．设实数x，y满足约束条件．则目标函数的最小值为（）A．40B．2C．4D．68．已知函数，若，则下列结论正确的是（）A．在区间上单调递减B．的图象关于直线对称C．D．9．已知⊙O1：，⊙O2：（且），则⊙O1与⊙O2的公切线有（）A．4条B．1条C．2条D．3条10．对于函数的图象上不同的两点A（，），B（，），记这两点处的切线的斜率分别为和，定义（|AB|为线段AB的长度）为曲线上A，B两点间的“弯曲度”．下列命题中真命题是（）①若函数图象上A，B两点的横坐标分别为1和2，则；②存在这样的函数，其图象上任意两点间的“弯曲度”为常数；③设A，B是抛物线上不同的两点，则；④设指数曲线上不同的两点A（，），B（，），且，若恒成立，则实数t的取值范围是．A．②④B．①②C．①④D．②③11．如图2，椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上第一象限的一个点A满足：直线F1A与直线的交点为B，直线与x轴的交点为C，且射线BF2为∠ABC的角平分线，则△F1AF2的面积为（）\nA．B．C．D．12．已知在上的连续函数，其导函数为，满足，恒成立，设，，，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若，且，，则与夹角的余弦值为________．14．函数在点（0，）处的切线方程为________．15．的展开式中的系数是________．16．用基因型为Aa的小麦分别进行连续自交、随机交配，连续自交并逐代淘汰隐性个体、随机交配并逐代淘汰隐性个体，则第9代Aa基因型频率为________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）2021年云南省有11937个文科考生分数达到了一本线，其中大约有10000人的分数集中在[565，620]内，其成绩的频率分布如下表所示：分数段频数频率[565，576）2924a[576，587）2518b[587，598）2014c[598，609）1439d[609，620]1105e（1）求a，b，c，d，e；（2）求这10000人分数的中位数的估计值（结果保留两位小数）．\n18．（本小题满分12分）如图3，△ABC中，点D在AB上且满足：，．在①DC=3，②∠CDA=，③sin∠ACD=这三个条件中任选一个，补充在题设中，求△ABC的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）图319．（本小题满分12分）图4甲是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD，AB⊥BC，AD=2BC=2AB=2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），在四棱锥P−ABCD中，若AP=2．（1）证明：平面PCD⊥平面ABCD；（2）若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值．图4\n20．（本小题满分12分）已知双曲线C：（，）的离心率为2，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，A（2，3）是双曲线C上的一个点．（1）求双曲线C的方程：（2）若过点B（4，0）且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为l1，l2，点P为直线l1与直线l2的交点，试求点P的轨迹方程．（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点（，）处的切线方程为）21．（本小题满分12分）已知函数，，函数，．（1）试讨论函数的单调性；（2）若是函数的最小值点，且函数在处的切线斜率为2，试求a的值．\n请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为，（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为（，）．（1）求曲线C的普通方程和射线l的直角坐标方程；（2）射线l与曲线C相交于点P，点Q在极轴上（异于极点），当且△OPQ的面积为时，求△OPQ的外接圆的极坐标方程．23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】已知a，b，．（1）若，求证：；（2）若，求的最小值．\n理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DBACBBCCCDAD【解析】1．，所以复数的模是，故选D．2．集合中的元素有共4个，故选B．3．至少要有一男一女的选法有，故选A．4．设椭圆的标准方程为，焦距为，则解得椭圆的标准方程为故选C．5．该几何体为图1中三棱锥，，故选B．6．因为对任意的且，当时，当时，所以成立；当成立时，可推出等差数列的公差大于零，但“对任意的且”未必恒成立，例如，，当时，不成立，故选B．7．约束条件所满足的区域如图2所示，目标函数的几何意义是点到区域内一个点的距离的平方，由图知此最小值为以点为圆心，与直线相切的圆的半径的平方，根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，故最小值为，故选C．\n8．由题，且，解得，于是，所以，故选C．9．解法一：的圆心为，半径为，则圆心之间的距离，因为，故两圆相交，有两条公切线；解法二：两圆有，两个公共点，故两圆相交，有两条公切线，故选C．10．由得，，则，所以①错；常值函数的“弯曲度”为零（常数），所以②正确；由得，，则，所以③正确；④：由，，故④错误，故选D．11．设椭圆的方程为，则，故椭圆的方程为；又射线为的角平分线，在根据角平分线定理，有，则在中，故，所以直线，点为直线与椭圆的交点，联立方程解得（舍负），故，故选A．12．令，，在上，，单调递减，，\n，，，，故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案10【解析】13．设与的夹角为，，.14．函数的导函数为则故切线斜率为2，又，所以切线方程为．15．展开式的通项，令，解得，所以的系数为．16．设第代含基因型为的个体数为，基因型为Aa的个体数为，第代总个体数为，可得①，②，①÷②得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得，故第9代Aa基因型频率为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1），，，，\n．…………………………………………………………（5分）（2）设这10000人分数的中位数的估计值为，分数低于576分的频率为0.2924<0.5，分数低于587分的频率为0.5442>0.5，这10000人分数的中位数的估计值．…………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：选①．如图3，在中，由已知及正弦定理得，，因为，所以，即（1），……………………………………（5分）在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理及（1）得，，因为则于是，所以．………………………………………（12分）选②．在中，由已知及正弦定理得，，故是的角平分线；因为，所以，即…………………………………………（5分）\n在中，设，由正弦定理得，则，因为是的角平分线，故，在中，由余弦定理得，故，则．………………………………………………（12分）选③．在中，由已知及正弦定理得，，故是的角平分线；因为，所以，即………………………………………………………………………（5分）设，则，在中，由余弦定理得，解得，则．…………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，取中点为，连接，，由题得，得，，，，，，，，平面，平面，所以平面平面．\n…………………………………………………………………………………………（6分）（2）解：如图，延长和交于点，连接，则为平面与平面的交线，即为，取中点为，连接，，如图，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量为，解得设与平面的所成角为，则．…………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）据题意，则，点在双曲线上，则，又，则，，，，双曲线的方程为.……………………………………………………（5分）（2）设，直线，联立\n……………………（8分）由题知，切线，切线，记，则①+②得，将代入得③；①−②得，由得④，联立③和④得故，又，所以，则，故点的轨迹方程为．………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1），当时，函数在定义域上单调递增；……………………………………（1分）当时，函数的单调性如表格所示：单调递增极大值单调递减…………………………………………………………………………（6分）（2），，则是一个单调递增的函数，当时，，当时，，故，使得，且单调递减极小值单调递增\n（即最小值）…………………………………………………………………………………（8分）所以，整理该式有令，则，所以函数在上单调递增，故的解满足；……………………………………（10分）又，，，所以，由知，故．……………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由（为参数），得（为参数），两式平方相加，得为的普通方程；射线的直角坐标方程为．………………………………………（5分）（2）当时，由，得，设，则，代入椭圆方程得，，解得，设，由，在中，由余弦定理得，，所以是以为斜边的直角三角形，\n设的外接圆上的动点，．……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）证明：欲证：，即证：，由，又因为，所以.……………………………………（5分）（2）解：因为，所以，又因为，所以当且仅当取时，等号成立（取等条件不唯一），所以的最小值是.……………………………………………（10分）
