长沙市一中2022年高一第二学期期中考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集、补集运算,即可求解.详解】解：，,故选:A2.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【2题答案】【答案】B【解析】【详解】,对应点为,位于第二象限,选B.3.不等式成立的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】D【解析】【分析】先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件.\n【详解】由，由于，而，故不等式成立的一个充分不必要条件是，A选项是充要条件，B选项是既不充分也不必要条件，C选项是必要不充分条件.故选：D.4.如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.16cmB.cmC.8cmD.cm【4题答案】【答案】A【解析】【分析】由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得．【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，又，，，所以，周长为．故选：A．\n5.已知在中，，则（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理求出和，再利用相反向量、平面向量的数量积进行求解.【详解】因为，，，所以，则，，则.故选：B.6.设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（）米．A.B.C.D.\n【6题答案】【答案】B【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理可知，故选：B7.若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.（3,5］D.（1,5]【7题答案】【答案】C【解析】【分析】求得当时，函数，根据，得到函数的周期为2，把函数在区间恰有3个不同的零点，转化为即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，结合对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，则，函数，又由对任意，都有，则，即周期为2，又由函数（）在区间恰有3个不同的零点，\n即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，又由，则满足且，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式，以及求得函数的周期，再集合两个函数的图象的性质列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.8.设函数有个不同的零点，则正实数的取值范围为（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】A【解析】【分析】分段函数分段处理，显然有1个零点，所以有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有4个零点即可.【详解】由题，当时，，显然单调递增，且，，所有此时有且只有一个零点，所有当时，有4个零点，令，即，解得，由题可得区间内的4个零点分别是，所以即在\n之间，即，解得故选：A二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分）9.已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（）A.B.，且C.D.【9题答案】【答案】ABC【解析】【分析】A.根据直线的位置关系判断；B.根据直线与平面的位置关系判断；C.根据平面与平面的位置关系判断；D.根据面面平行的性质定理判断.【详解】A.因为，，则平行或相交，故错误；B.因为，，则或，或，故错误；C.因为，，，，则平行或相交，故错误；D.因为，，，由面面平行的性质定理得，故正确；故选：ABC10.已知下列四个命题为真命题的是（）A.已知非零向量，若，则B.若四边形中有，则四边形为平行四边形C.己知，，可以作为平面向量的一组基底\nD.已知向量，则向量在向量上的投影向量为【10题答案】【答案】ABD【解析】【分析】利用共线向量的性质判定选项A正确；利用向量相等判定两边平行且相等，进而判定选项B正确；利用向量共线定理判定两向量共线，进而判定选项C错误；利用投影向量的定义判定选项D正确.【详解】对A：对于非零向量，若，则成立，即选项A正确；对于B：因为，所以边和平行且相等，即四边形为平行四边形，即选项B正确；对于C：因为，所以，所以不可以作为平面向量的一组基底，即选项C错误；对于D：易知与同向的单位向量为，设、的夹角为，则，所以向量在向量上的投影向量为，即选项D正确.故选：ABD.11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（）A.若，则B.若，则为钝角三角形\nC.若，则符合条件的三角形不存在D.若，则一定是等腰三角形【11题答案】【答案】AC【解析】【分析】利用正余弦定理，三角函数的性质逐一判断即可.【详解】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；若，，，则，即，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；若，，，根据正弦定理可得所以符合条件三角形不存在，即C正确；若，则，即,因为,所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，故D错误.故选：AC12.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥SO的侧面积为B.三棱锥S-ABC体积的最大值为\nC.的取值范围是D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为【12题答案】【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断AB，利用求得后可得其范围判断C，把棱锥的两个面和摊平，利用平面上的性质求的最小值判断D．【详解】由已知，圆锥侧面积为，A错；在圆周上，易得，．B正确；，又中，，所以，所以．C错；时，把和摊平，如图，的最小值是，此时，，，，，D正确．故选：BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量，，若，则___________.\n【13题答案】【答案】##0.5【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可求结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：14.如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是_____. 【14题答案】【答案】a##1.5a【解析】【分析】图②中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图①中求出三棱柱的体积，计算即可得出结果.【详解】在图②中，水所占部分为四棱柱，四棱柱底面积为，高为，所以四棱柱的体积为，设图①中容器内水面的高度为h，则，解得\n故答案为：##1.5a15.己知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为____________．【15题答案】【答案】##【解析】【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成长方体，利用它们有相同的外接球，求出长方体的体对角线长即可得解.【详解】依题意，不妨令，于是得直三棱柱共点于A的三条棱AB，AC，AA1两两垂直，，则以AB，AC，AA1为相邻三条棱可作长方体，该长方体与直三棱柱有相同的外接球，外接球的直径2R即为长方体体对角线长，即，此球的体积为，故答案为：.16.如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．【16题答案】【答案】8【解析】\n【分析】设，，由，，，共线可得，再利用乘“1”法求解最值.【详解】设，，，，，共线，，．，则，点，是线段上两个动点，，．则的最小值为．故答案为：．【点睛】由向量共线定理的推论得到是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法..四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，，O为坐标原点．（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；（2）当时，求的取值范围．【17题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积为负求出的范围，再除去向量共线反向时对应的m,即可得解；（2）用坐标表示出，根据t的范围及二次函数的单调性求解即可.\n小问1详解】由，，所以，；令，即，解得，当时，，与方向相反，夹角为平角，不合题意；所以，所以若与的夹角为钝角，则的取值范围是．【小问2详解】，，的对称轴为，，时，，时，，即，的取值范围为.19.如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且，．（1）证明：点F在平面内；（2）若，求三棱锥的体积．\n【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用长方体的性质得到，利用对应线段成比例和相似三角形得到，再利用基本事实4得到，即证明四点共面；（2）利用等体积法和三棱锥的体积公式进行求解.【小问1详解】证明：如图，连接，，在长方体中，，且，所以四边形是平行四边形，则．因为，，所以，所以，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内．【小问2详解】解：在长方体中，点到平面的距离即为点到平面的距离，即为；所以．\n21.（1）在复数范围内，求方程的解；（2）若复数，满足，且，求出，．【21题答案】【答案】（1）；（2），或，【解析】【分析】（1）利用配方法和进行求解；（2）先利用进行消元，再设出，利用模长公式、复数的相等进行求解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，即；（2）将代入，得，即，设，所以，所以，解得或，所以，或，.22.已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且\n．（1）求证：平面；（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析．【解析】【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，证明，，又平面，平面，证明平面；（2）是上的点，当的值为时，能使平面平面，通过证明平面，又，平面．然后证明即可．【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点，因为四边形为正方形，所以，故，\n所以，又因为，所以，所以．又平面，平面，故平面．（2）当的值为时，能使平面平面．证明：因为，即有，故．所以．又平面，平面，所以平面，又，平面．所以平面平面．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．\n23.在①②③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设的面积为S，已知________．（1）求角C的值；（2）若，点D在边上，为的平分线，的面积为，求边长a的值．【23题答案】【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）选①，可由余弦定理得，进而可得；选②，由面积公式和余弦定理可得，进而可得；选③，可得，进而可得.（2）设，由，，联立可求得.【详解】（1）选①，由余弦定理得，整理得，所以，又，故.选②，因为，，故，可得，又，故.选③，可得，\n所以，又，所以，故.（2）在中，因为是的平分线，且，设，所以，又，联立以上两式得：，又，解得24.已知函数.（Ⅰ）对任意的实数，恒有成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数取最小值时，讨论函数在时的零点个数.【24题答案】【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由可知，区间是不等式解集的子集，由此可得出实数的不等式，解出即可；（Ⅱ）由题意可知，，则，令，可得出，令，对实数的取值范围进行分类讨论，先讨论方程的根的个数及根的范围，进而得出方程的根个数，由此可得出结论.\n【详解】（Ⅰ），，对任意的实数，恒有成立，则区间是不等式解集的子集，，解得，因此，实数的取值范围是；（Ⅱ），由题意可知，，，令，得，令，则，作出函数和函数在时的图象如下图所示：作出函数在时的图象如下图所示：\n①当或时，即当或时，方程无实根，此时，函数无零点；②当时，即当时，方程的根为，而方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；③当时，即当时，方程有两根、，且，，方程在区间上有两个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有四个零点；④当时，即当时，方程有两根分别为、，方程在区间上只有一个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有三个零点；⑤当时，即当时，方程只有一个实根，且，方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；⑥当时，即当时，方程只有一个实根，方程在区间上只有一个实根，此时，函数只有一个零点.综上所述，当或时，函数无零点；\n当时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点；当时，函数有四个零点.【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.
