2021-2022学年下学期期末测评试卷高二理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上．2．考生作答时，请将正确的答案填写在答题卡上，在木试卷上答题无效．回答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大”，即教师的名声与学生的水平之间有关联．下列能描述出生活中两种属性或现象之间关联的成语是（）A.登高望远B.亡羊补牢C.目瞪口呆D.袖手旁观【答案】A【解析】【分析】先分析教师的水平与学生的水平成正相关关系，再分析求解即可.【详解】成语“名师出高徒”的意思说有名的教师一定能教出高明的徒弟，通常情况下，高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生，所以教师的水平与学生的水平成正相关关系，四个选项中只有“登高望远”满足题意，即登高有很大的趋势可以看更远，登高和望远之间成正相关关系.故选：A.2.用反证法证明“已知直线a，b，平面，若，则”时，应假设（）A.a，b相交B.a，b异面C.a，b不垂直D.a，b不平行【答案】D【解析】【分析】根据反证法的性质，分析即可得答案.【详解】直线a，b的位置关系有平行，异面与相交三种所以应用反证法证明时，应先假设a，b不平行.\n故选：D3.的值为（）A.B.C.1D.不存在【答案】B【解析】【分析】根据为奇函数，结合定积分的计算，求出原函数再代入端点求解即可【详解】故选：B4.已知复数z在复平面内对应的点为M，在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设复数，复数z在复平面内对应的点为M在第一象限，求出的范围，在复平面内对应的点为N在第四象限，求出的范围，再结合充分条件必要条件的定义即可求出答案.【详解】设复数，复数z在复平面内对应的点为M在第一象限，则，，在复平面内对应的点为N在第四象限，则.反之，也成立，“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的充要条件.故选：C..5.已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（）\nA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】由条件概率知：，因为，所以，故A不正确；，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确；，所以，故C正确；，故D不正确.故选：C.6.的展开式中的系数为（）A.90B.180C.270D.360【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理通项得：，再分析求解即可.【详解】展开通项为：，当，，所以的系数为：\n.故选：C.7.函数的大致图象是（）参考公式：对于函数，若与在处可导，且，则．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据参考公式，可求得，排除A,D,利用函数的定义域可排除C,由此可得答案.【详解】由与在处可导，且，则，由此排除A,D,又的定义域为,故排除C,故选：B\n8.设平面凸多边形的周长为c，面积为s，内切圆半径为r，则．类比该结论，若多面体的各条棱长之和为C，表面积为S，体积为V，内切球半径为R，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由四面体的内切球的球心到四个面的距离都为，结合棱锥的体积公式，即可得出结论.【详解】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都为，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，设四面体的体积为，其表面积为S，则，即故选：D.9.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策路、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛最后，中国队有两名选手a，b，日本队有一名选手c，韩国队有一名选手d，规定a与c对阵，b与d对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，四位选手之间相互获胜的概率如下：abcda/0.50.60.8\n获胜概率b获胜概率0.5/0.50.6c获胜概率0.40.5/0.4d获胜概率0.20.40.6/则最终中国队获得冠军的概率为（）A.0.24B.0.328C.0.672D.0.76【答案】C【解析】【分析】中国队获得冠军共分为三种情况：①与对阵赢，与对阵赢，与对阵无论谁赢中国队都是冠军；②与对阵赢，与对阵赢，与对阵赢；③与对阵赢，与对阵赢，与对阵赢；然后根据独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得到答案.【详解】中国队获得冠军共分为三种情况：与对阵赢，与对阵赢，与对阵无论谁赢中国队都是冠军，设这种情况为事件，则根据独立事件的概率计算公式可得；与对阵赢，与对阵赢，与对阵赢，设这种情况为事件，则根据独立事件的概率计算公式可得；与对阵赢，与对阵赢，与对阵赢，设这种情况为事件，则根据独立事件的概率计算公式可得；设中国队获得冠军为事件A，则由互斥事件的概率计算公式可得：．故选：C10.数432不同正因数个数为（）A.12B.16C.20D.24\n【答案】C【解析】【分析】依题意可得，将问题转化为从盒子中取数，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：因为，所求数的不同正因数的个数可以看做从、两盒子中取数，其中盒子装有个，盒子装有个，将取出的数相乘即可得到的一个因数（如一个数也不取则看做）；则从盒子中取数一共有种取法，盒子中取数一共有种取法，所以一共有取法，故有个的不同正因数；故选：C11.抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点”，G表示事件“两次点数之和是9”，H表示事件“两次点数之和是10”，则（）A.E与G相互独立B.E与H相互独立C.F与G相互独立D.G与H相互独立【答案】A【解析】【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义判断个选项的正误.【详解】解：由题意得：，，，对于选项A：，，，所以和互相独立，故A正确；对于选项B：，，，所以和不互相独立，故B错误；对于选项C：，，，所以和不互相独立，故C错误；\n对于选项D：，，，所以和不互相独立，故D错误；故选：A12.若恒成立，则实数（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】同构函数，求导，在定义域内分析函数的单调性和函数的最小值即可.【详解】由，得，令，则上式变为：，因为是增函数，所以原式等价于，即，恒成立；设，若，则，，是增函数，，当时，，不符合题意，故，，令，得，当时，，当时，，故，设，当时，，当时，，在时取得最大值，，即，当a=1时，等号成立；故a=1；故选：A.\n二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知复数z满足，i是虚数单位，则__________．【答案】【解析】【分析】根据复数的乘除运算，化简可得，进而可得，代入求模公式，即可得答案.【详解】由题意得，所以，所以.故答案为：14.为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.【答案】丙【解析】【分析】列出表格，用√表示已选的，用×表示未选的课程，逐个将每门课程所选的人确定下来，即可得知选击剑的人是谁．【详解】在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，太极拳足球击剑游泳甲××√乙×√②×\n丙×√×丁√①从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳，丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑．故答案为丙．【点睛】本题考查合情推理，充分利用假设法去进行论证，考查推理论证能力，属于中等题．15.抽样表明某地区新生儿的体重近似服从正态分布．现随机抽取r个新生儿进行体检，记表示抽取的r个新生儿的体重在以外的个数，若的数学期望，则r的最大值为__________．（注：若随机变量，则）【答案】13【解析】【分析】根据正态分布的规律，计算出以外的概率，根据数学期望的定义计算即可.【详解】由题意，以外的概率为，，，由于r为整数，r的最大值为13；故答案为：13.16.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则__________．【答案】【解析】【分析】求出函数导函数，即可得到切线方程，从而得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，所以，又，所以在点处的切线为，又，则，\n所以，又当时，所以曲线在点的切线方程为，所以，解得，即；故答案为：三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分17.已知，且．（1）求m和的值；（2）求的值．【答案】（1）m=1，（2）0【解析】【分析】（1）根据，利用二项展开式的通项公式求解；（2）由二项展开式，分别令和，利用赋值法求解.【小问1详解】解：因为，所以含x一次项为，又因为，所以，解得，所以二项展开式为，所以不含x的项为，即；【小问2详解】\n令，得，令，得，两式相减得：，两式相加得：，所以.18.为了研究黏虫孵化的平均温度（单位：）与孵化天数之间的关系，重庆八中高2022级某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：组号123456平均温度15.316.817.41819.521孵化天数16.714.813.913.58.46.2他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：模型①模型②经计算得，，，，（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程．（系数精确到0.1）参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：\n，．【答案】（Ⅰ）模型①；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）比较两个残差图的波动情况，即可做出判断；（Ⅱ）首先根据残差图剔除第四组数据，再根据参考公式求回归直线方程.【详解】解：（Ⅰ）根据残差图分析，得出模型①残差波动小，应该选择模型①；（Ⅱ）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数为，；，；，，所以关于的线性回归方程为：．19.已知函数．（1）求的极值；（2）求证：．【答案】（1）的极小值为0，无极大值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导分析函数单调性与极值即可；（2）转证，求导得\n，再求导分情况讨论，结合（1）中的结论分析的单调性可得在上为增函数，再根据可得的单调区间与最小值即可证明【小问1详解】由题，为增函数，且，故在上，单调递减；在上，单调递增；故有极小值，且无极大值【小问2详解】要证，即证，因为，设，则，当时，，当时，由（1）可得，即，故，综上有当时，即在上为增函数.故在上为增函数.又，故在上，单调递减；在上，单调递增.故，即，故，即得证【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值的问题，同时也考查了利用导数解决恒成立的问题，需要根据题意求导分析，并求导分析导函数的单调性与正负，同时结合前问的结论进行放缩证明，属于难题20.某公同为调查某产品的市场满意度，对市场进行调研测评，测评方式知下：从全体消费者中随机抽取1000人给该商品评分，得分在60分以下视为“不满意”，得分在区间视为“基本满意”，得分在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给该商品的评分分组：\n，得到如下频率分布直方图：（1）对评分为“基本满意”与“非常满意”的消费者进行跟踪调查，根据上述的统计数据补全列联表，并判断是否有99.5%的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关．基本满意非常满意总计年龄350年龄110总计800附：．0.0500.0100.0053.8416.6357.879（2）从评分为“基本满意”和“非常满意”的消费者中用分层抽样的方法抽取8人，进行二次调查，对产品提出改进意见，并进行评比．最终有3人获奖（8人中每人是否获奖视为等可能的），求获奖消费者中评分为“基本满意”的人数X的分布列及数学期望．【答案】（1）有的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关；（2）分布列见解析，【解析】\n【分析】（1）由频率分布直方图计算即可补全列联表，由独立性检验，计算即可求解；（2）首先按照分层抽样求出“基本满意”和“非常满意”的消费者的人数，依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列，由数学期望公式计算即可．【小问1详解】解：基本满意的总人数为人，非常满意的总人数为人，列联表如下，基本满意非常满意总计年龄35090440年龄250110360总计600200800，有的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关；【小问2详解】解：依题意从“基本满意”中抽取人，“非常满意”中抽取人，所以的可能取值为，，，所以，，，所以的概率分布列为：123．21.已知函数，.\n（1）判断函数的单调性；（2）当时，判断函数的零点个数.【答案】（1）在上是增函数（2）两个【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再求二阶导数，即可得到导函数的单调性，再由，从而得到原函数的单调性；（2）首先可得是方程的一根，求出的导数与二阶导数，令令，，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【小问1详解】解：，，，，∵，，∴，∴在上是增函数，且，∴，∴在上是增函数.【小问2详解】解：令，，由，知是方程的一根，由，知不是方程的根，又，，令，，①当时，，\n∴在上为增函数，，，∴存在唯一一个实数，使.②当时，，，.由①②知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∵，，∴存在唯一实数，使，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，∵，，∴存在唯一实数，使，即在区间有唯一零点，所以函数在上有两个零点.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】\n22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点M，N分别在直线l和曲线C上，且直线的斜率为，求线段长度的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）利用消参方法消参即可，再利用极坐标和直角坐标互化公式即可求直角方程；（2）根据题意得的倾斜角为，所以直线与直线的夹角为，过作，垂足为，则，利用参数求出的范围即可求解.【小问1详解】消去参数得直线的普通方程为，再将代入直线的普通方程，得直线的极坐标方程为．由得曲线的直角坐标方程为，所以直线l的极坐标方程为；曲线C的直角坐标方程为．【小问2详解】\n因为直线的斜率为，即倾斜角为，而直线的倾斜角为，故直线与直线的夹角为，如下图所示，过作，垂足，则，因为曲线的参数方程为：（为参数），所以可设，则，且，因为，，，所以．所以线段长度的取值范围是【选修4-5：不等式选修】23.已知函数．\n（1）若函数在上单调递减，求实数t的取值范围；（2）若，求函数的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对分，两种情况讨论即可；（2）化简的解析式，分别求出每个分支的值域，从而得到最大值.【小问1详解】（1）由：①若，则对任意，都有：此时函数在上单调递减，故满足条件.②若，则时：故此时函数在上单调递增，不满足条件.综上，实数t的取值范围为.【小问2详解】由，故：①若，则：②若，则：③若，则：④若，则：综上可知，当时，函数取得最大值，最大值为：故函数的最大值为.
