华中师大一附中2022年高考数学考前测试卷总分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.若集合，则对于集合的关系，则下列关系中一定正确的是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据交集和并集的性质，结合子集的性质进行判断即可.【详解】由于，同理知，故，故选：A2.已知向量，，若与反向共线，则的值为（）A.0B.48C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量反向共线求得，再应用向量线性运算及模长表示求.【详解】由题意，得，又与反向共线，故，此时，\n故.故选：C.3.已知函数的部分图象如图所示，则的值为（）A.0B.1C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据函数图象，求得其解析式后求解.【详解】解：由图可知，则，所以，则，因为函数图象过点，所以，则，取，所以，所以，故选：D.4.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，\n鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，\n直线，整理，原点O到直线距离为，故选：B5.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为在定义域上单调递增，所以由可得，所以由可得，即充分性成立，由推不出，如、满足，但是，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件；故选：A6.如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（）\nA.直线与直线垂直，直线平面B.直线与直线平行，直线平面C.直线与直线异面，直线平面D.直线与直线相交，直线平面【答案】A【解析】【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定.【详解】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；由正方体的性质可知，所以平面平面，又平面，所以直线平面，故A正确；以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，显然直线与直线不平行，故B不正确；\n直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；直线与直线异面，不相交，故D不正确；故选：A.7.某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（）A.72B.84C.90D.96【答案】B【解析】【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；\n若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B8.已知定义在D的上函数满足下列条件：①函数为偶函数，②存在，在上为单调函数.则函数可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性判断A；求出函数的零点判断B；分析函数的奇偶性，借助导数求出单调区间判断C；求出函数的定义域判断D作答.【详解】对于A，定义域为，，即为奇函数，A不是；对于B，定义域为R，由得，即对任意的正整数k，都是的零点，显然不能满足条件②，B不是；对于C，，必有，则且，即定义域为且，，则函数为偶函数，满足条件①，设，其导数，由得，\n令，当时，，即在上为增函数，而，在上为减函数，因此在上为减函数，即存在，在上为减函数，满足条件②，C是；对于D，定义域为，不能满足条件②，D不是.故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证.【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，故；从而，故选项A正确；，，，故选项B错误，C正确；，故选项D正确；故选：ACD.10.记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（）\nA.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则对于A，由数列是等差数列及，所以可取，所以不成立，故A正确；对于B，由数列是等差数列，所以，所以恒成立，故B不正确；对于C,由数列是等差数列，可取，所以不成立，故C正确；对于D，由数列是等差数列，得，无论为何值，均有所以若，则恒不成立，故D正确.故选：ACD.11.已知函数恰有三个零点，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】令转化为为（*）在上有两不等实根\n从而得出参数的范围，设函数在处的切线，记切线与的交点的横坐标分别为，又由可得，从而可判断选项C;由对数均值不等式可判断选项D.【详解】由，则可得时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以令，则，当时，；当时，则在上单调递增，在上单调递减.所以由题意即方程有三个实数根,即有三个实数根所以有两个实数根，即转化为（*）必有一个实根判别式，有或，两根情况讨论如下：①当时，从而将代入（*）式，得，又，有不符合题意，故舍去②当，时，令\ni)当时，有，得，此时（*）式为，不符合题意ii)当时，则有，解得综上知的取值范围为，故A错误，B正确.由上知考虑函数在处的切线，易证：记切线与的交点的横坐标分别为，则，又，则同理，故，故选项C正确对于选项D，，则有，即，故选项D正确故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数零点问题，考查复合方程的根的问题.解得本题的关键是先令，先研究出其性质大致图像，然后将问题转化为（*）在和上各有一个实根，从而使得问题得以解决，属于难题.12.在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法正确的是（）\nA.若，则三棱锥的外接球的表面积为B.若，则C.若，则D.的值可能为【答案】ABC【解析】【分析】根据三角形外心、垂心的性质，结合球的性质、二面角的定义逐一判断即可.【详解】对选项A，当，P在底面的射影为三角形ABC的外心，又由已知顶点P在底面的射影为的垂心，故三棱锥为正三棱锥，又，则三棱锥为棱长为1的正四面体，如下图所示：设三棱锥的外接球的球心为，半径为，由正弦定理可知：，，所以，表面积为，故A正确.\n连接延长交与，连接延长交与，设平面平面顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面，则有：直线与平行，又，则，平面，则，又，则平面从而，故为与平面的二面角，即，同理可得：，对选项B，，又，则有：可得：与全等，则，又根据是的垂心，则，，综上可得：直线垂直并平分线段，可得：，故选项B正确；对选项C，易知有如下角关系：，，又，则有：，，，可得：，解得：，则，故选项C正确；对选项D，若，则有：，则有：化简后可得：，令，则有：则有：，此时方程无解，故选项D错误；故选：ABC\n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.著名数学家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根据这个公式可知______.【答案】2【解析】【分析】根据题中所给公式进行求解即可.【详解】根据棣莫佛公式，由，因为，所以，故答案为：14.为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.【答案】2【解析】【分析】由题意确定相应的各角的度数，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案.【详解】由题意可知，,,\n故在中，，故，，在中，，故，，所以在中，，则,故答案为：215.已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k的值__________.【答案】9(9~12的正整数均可)【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】在等比数列{an}中，设公比为，数列各项均为正数，所以由，则，解得或（舍），又，解得.则即，即\n当，即，也即时，有成立.又正整数，且又当时，，显然有成立.当时，也有成立.所以9～12的正整数均可满足条件.故答案为：9【点睛】关键点睛：运用分类讨论法是解题的关键.16.已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先分析得出曲线，的图像关于轴对称，则在其中一个交点在轴上，在轴上方恰好有一个交点，当时，曲线的方程，则在上恰好有一个实数根，从而得出答案.【详解】曲线，用代替可得，可得曲线的图像关于轴对称.曲线用代替可得，从而曲线的图像关于轴对称.曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则在其中一个交点在轴上，在轴上方恰好有一个交点.曲线的方程为，所以曲线的图像与曲线的图像必相交于\n点，当时，曲线的方程，则，即在上恰好有一个实数根.,解得或所以，解得故答案为：四、解答题：本题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）若点关于轴的对称点为，求所有满足条件的取值的集合；（2）在中，角所对的边分别为，当角为集合中的最小正数时，，，求边长的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据点与关于轴对称，得出横纵坐标的关系，利用同角三角函数的商数关系，得出，解三角方程即可求解；（2）根据（1）及已知条件，得出角，利用余弦定理及一元二次方程的解法即可求解.【详解】解析：（1）由题意知，即，从而故.（2）由（1）知，因为角为集合中的最小正数，当时，，即由余弦定理及知，即\n，化简整理，得化简整理，得，解得或.所以边长的值为或.18.在数列中，已知，，.（1）若，求数列的通项公式；（2）记，若在数列中，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将递推关系进行转化，求出的通项公式；（2）依题意，是数列的最大项，列不等式，分和讨论即可.【小问1详解】由题意，，得：，运用累加法：，，，，n=1时，也成立，∴；【小问2详解】由（1），，\n由题意，即，化简得：，当时，，即，当时，，即，即；综上，，.19.某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图如图．（1）求图中的值；若要在平均数和众数中选用一个量代表学生对本校食堂的评分情况，哪一个量比较合适，并简述理由；（2）以频率估计概率，现从学校所有学生中中随机抽取18名，调查其对本校食堂的用餐满意度，记随机变量为这18名学生中评分在的人数，请估计这18名学生的评分在最有可能为多少人？【答案】（1），答案见解析\n（2）11人【解析】【分析】（1）根据在频率直方图中所有小矩形面积之和为1，结合平均数和众数的性质进行求解即可；（2）根据二项分布的性质进行求解即可.【小问1详解】由图知：，故，①选用平均数比较合适，因为一方面平均数反映了评分的平均水平，另一方面由频率分布直方图估计时评分的极端值所占比例较少，故选用平均数较合理.②选用众数比较合适，因为一方面众数反映了出现频率最多的那个值的信息，反映了普遍性的倾向，另一方面由频率分步直方图估计其中评分在的人数超过了一半，从而选用众数也比较合理；【小问2详解】记18名学生中k名学生的成绩在的概率为，，…，18.由已知得X~B(18，0.6)，，令，即，即，解得，由，.所以估计这18名学生中评分在最有可能为11人.20.已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.\n（1）若点是棱上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；（2）若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）②，证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）先连接、交于，确定是的几等分点，再确定是的几等分点．（2）建立空间直角坐标系，平面垂直，对应法向量垂直，数量积为，列出方程求解．【小问1详解】条件②可以推断平面.如图，连接，相交于点，连EM.\n在梯形中，有，，.又因为，所以，故，又平面，平面，所以平面.故当时，平面.【小问2详解】以A为原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，设，则对于平面ADN，设其法向量，满足，即，故取对于平面BDN，设其法向量，满足，即，故取，若平面ADN平面BDN，则，即，解得，此时N为PC的中点，.21.已知，为椭圆的左、右焦点，且A为\n椭圆上的一点.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线与抛物线相交于两点，射线，与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，对于任意时，总存在实数t，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，，证明见解析【解析】【分析】（1）求出点A到两焦点的距离，再用椭圆的定义可得，结合可得，从而可得椭圆的方程；（2）直线与抛物线联立，结合判别式有，要使得点在以线段为直径的圆内，根据题意，有，结合韦达定理可得，从而可证明问题.【小问1详解】由题意知，为椭圆上的一点，且垂直于x轴，则，，所以，即，所以，故椭圆的方程为；【小问2详解】方程为，联立抛物线方程，得，整理得，则，则①，设，，，，则，，\n则，由的坐标为，则，，，，由与同向，与同向，则点在以线段为直径的圆内，则，则，则，即，则，即②，当且仅当，即，总存在使得②成立，且当时，由韦达定理可知的两个根为正数，故使②成立的，从而满足①，故存在数集，对任意时，总存在，使点在线段为直径的圆内．22.已知函数在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）（i）证明：函数有且仅有一个极小值点，且；（ii）证明：.参考数据：，，，.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用导数意义列方程组，即可解得；（2）（i）求出导函数.利用导数和零点存在对立即可证明；（ii）求出，令，\n利用导数判断出在上单调递减，即可证明；要证，即证.令，利用导数证明出；令，利用导数证明出，得到，即可证明.【小问1详解】定义域为，由题意知，解得.【小问2详解】（i）由（1）知，令，则，从而即单调递增又，故存在唯一的使得0极小值从而有且仅有一个极小值点，且（ii），的极小值\n令，则，从而在上单调递减，，故下证，即证一方面令，则，则在上单调递增，从而另一方面，令，令有0极大值从而从而即成立，故.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；\n（3）利用导数求参数取值范围；（4）利用导数证明不等式.
