2022高二基础学科知识竞赛数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，，则（）A.B.C.D.2.若为纯虚数，则a的值为（）A.B.C.2D.03.在的展开式中，含项的系数为（）A.B.2048C.D.4.已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知平面向量，，若与共线，则（）A.6B.-6C.D.6.已知函数，若曲线在点处的切线经过点（3，5），则a的值为（）A.B.eC.1D.27.已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（）A.B.\nC.D.8.某工厂专业生产水稻收割机，它有三个等级：一级品、二级品和三级品.现A车间中有4个一级品，4个二级品和2个三级品，B车间中有5个一级品，3个二级品和2个三级品，先从B车间中随机取出两个水稻收割机放入A车间，再从A车间中随机取出一个水稻收割机，则从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若抛物线C：上一点P到准线的距离等于它到点的距离，则点P的坐标可能为（）A.（4，4）B.C.D.（4，-4）10.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.每一点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度B.每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）11.任意抛掷一次骰子，把它在地面最上方的面上的数字记为X，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.A，B，C两两相互独立12.下列大小关系正确的是（）\nA.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列满足，则______.14.已知双曲线C的离心率为，写出双曲线C的一个标准方程______.15.已知，，则______.16.如图，三棱锥中，，，的面积为8，则三棱锥外接球的表面积的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的外接圆半径为，且.（1）求B及b；（2）若，求a，c.18.（本小题满分12分）已知等比数列的前n项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.19.（本小题满分12分）道德与法律的联系：法律、道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持2.道德的实施需要法律的强制保障某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如下表所示：\n成绩/分人数/个44102210（1）若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；（2）假设处于的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数；（3）以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在间的数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.（1）求到平面的距离；（2）设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知椭圆C：的上顶点与右焦点分别为M，F，O为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，，若，求k的值.\n22.（本小题满分12分）已知.（1）判断函数的单调性；（2）当时，求与的图象在上的交点个数.2022年高二基础学科知识竞赛数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.C【解析】因为，所以，所以.故选C.2.D【解析】为纯虚数，则.故选D.3.A【解析】二项式的展开式的通项，令，得，故含项的系数为.故选A.4.C【解析】若，又，则，故充分性成立，反之，若，又，则，故必要性成立.故“”是“”的充要条件.故选C.5.B【解析】若与共线，则，解得.故选B.6.A【解析】由题意，，则，所以，又由，所以曲线在点处的切线方程为，因为切线经过点（3，5），可得，解得.故选A.7.D【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且\n，又，所以，由，得或所以或解得或.故x的取值范围是.故选D.8.C【解析】记事件M为“从A车间中取出的水稻收割机为三级品”，记表示从B车间中随机取出两个一级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出两个二级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出两个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个一级品1个二级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个一级品1个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个二级品1个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品.从B车间中随机取出两个一级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出两个二级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出两个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个一级品1个二级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个一级品1个三级品的概率为，从A\n车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个二级品1个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以.所以.故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.BC【解析】设焦点为F，.由条件及抛物线的定义知，，又，所以，所以，所以.故点P的坐标可能为或.故选BC.10.BC【解析】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，所以A选项错误，B选项正确；（2）先平移后伸缩时：向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所以D选项错误，C选项正确.故选BC.11.AB【解析】由题意，，，，所以，同理，，由，则，故A正确；由，则，故B正确；\n由，则，而，故C错误；因为，，，所以事件A，B，C不两两相互独立，故D错误.故选AB.12.ABC【解析】作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，；当时，，所以，，故A，B正确；.构造函数，，则，当时，；当时，，所以在（-1，0）上单调递增，在上单调递减，所以，即，.取得，即，C正确；\n，所以，故，即，故D错误.故选ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14【解析】由等差中项的性质可得.14.（答案不唯一）【解析】双曲线C的离心率为，可得，则，故双曲线的标准方程为，所求双曲线方程为，答案不唯一.15.【解析】由，得①，将①式等号两边同时平方，得，所以，而，所以，，又，所以②.由①②得，，所以.16.【解析】作BD的中点O，因为，，则，则O是三棱锥\n外接球的球心，因为的面积为8，所以，则，则，当且仅当时取等号，所以，则，即，所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）由及正弦定理，得，又在中，，则，可得，即得，又，则.又的外接圆的半径，由正弦定理，则.（2）由（1）知，，又，则由余弦定理得，解得，则a，c是方程的两解.则，故，或，.18.【解析】（1）由，可得，\n则，因为为等比数列，所以其公比为；又，所以.（2）由（1）可得，，所以.19.【解析】估计这次测试的平均分为（分）；设这次测试的中位数为，显然，则，解得（分）.即估计这次测试的中位数为66.（2）由于，所以表中成绩的10%分位数为.（3）X所有可能取值为0，1，2，3.由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在间的概率为.所以，，\n，，故X的分布列为X0123P故X的数学期望.20.【解析】（1）因为，所以，设到平面的距离为h，则到平面的距离为，因为，即，即，得，即到平面的距离.（2）因为是以为直角的等腰直角三角形，由（1）知，所以，如图，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.\n则点，，，，.则，，.设平面的法向量为，则由解得.令，则，于是平面的一个法向量为.所以直线与平面所成角的正弦值为.21.【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c.因为是底边长为2的等腰三角形，所以且，又，所以由勾股定理得，所以.所以，，所以椭圆C的方程为.（2）联立得，则，解得或.\n设，，则则，，由，得，即，得，得，得，得，化简得，得，解得，都满足或.综上，k的值为或.22.【解析】（1）证明：因为的定义域是，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故，所以当时，函数在，上单调递减；\n当时，函数在，上单调递增.（2）解：当时，，当时，由，得，可得，接下来求出函数和函数在上图象的交点个数，当时，，，即函数和函数在上图象无交点；当时，，令，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递减，所以，所以，当时，，即函数在上单调递减，因为，如下图所示：\n由图可知，函数和函数在上图象的交点个数为2.综上所述，函数和函数在上图象的交点个数为2，即与的图象在上的交点个数为2.
