嘉兴市2021~2022学年第二学期期末检测高二数学试题卷（2022.6）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.设直线l，m，平面，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知平面向量，，若，则实数（）A.-1B.-2C.D.14.函数的部分图象可能是（）A.B.C.D.5.将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，则不同的排法共有（）A.108种B.72种C.36种D.18种6.设函数若函数在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.7.下列说法错误的是（）A.当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有\nB.一元回归模型分析中，对一组给定的样本数据，当样本数据的线性相关程度越强时，样本相关系数r的值越接近于1C.利用最小二乘法得到的经验回归直线必经过样本数据的中心D.由进行分类变量独立性检验时，应用不同的小概率值会推断出不同的结论8.已知实数，且，则（）A.B.C.D.二、选择题Ⅱ：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题会出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到频率分布直方图（如图），60分以下视为不及格，则下列说法正确的是（）A.图中a的值为0.020B.不及格的考生人数为15人C.考生成绩的平均分（精确到0.1）约为70.5分D.考生成绩的第60百分位数为75分10.设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.D.11.设函数，下列判断正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数是奇函数\nC.函数在上的值域为D.若将函数的图象向右平移个单位长度所得的图象关于y轴对称，则的最小值是12.如图，在平面四边形中，，，M为的中点，现将沿翻折，得到三棱锥，记二面角的大小为，，下列说法正确的是（）A.存在，使得B.存在，使得C.与平面所成角的正切值最大为D.记三棱锥外接球的球心为O，则的最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则________.14.已知，t为常数，，且，则________.15.已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则________.16.在中，O是的外心，G是的重心，且，则\n的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和.18.（本题满分12分）一个袋子中有8个大小相同颜色不同的小球，其中4个红球，3个白球，1个黄球，从袋中任意取出3个小球.（Ⅰ）求其中恰有2个小球颜色相同的概率；（Ⅱ）设随机变量X为取出的3个小球中红球的个数，求X的均值和方差.19.（本题满分12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，，求的面积.20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，E是的中点，，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.21.（本题满分12分）\n如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当的面积最大时，求直线的方程.22.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设函数有两个不同的零点，（），（ⅰ）求证；（为自然对数的底数）；（ⅱ）若，满足，求a的最大值.嘉兴市2021~2022学年第二学期期末检测高二数学参考答案（2022.6）一、单选题（40分）1～8BAACCDBB；8.解析：法（一）首先，，即\n，由函数在上单调递增知，，即，排除（C）（D）；其次，因为，得，即，同样利用的单调性知，，又因为，得，即，所以，选（B）.法（二）取特殊值：令，则化为，即，得，所以，排除（A）（C）（D），选（B）.二、多选题（20分）9.ACD；10.BC；11.BD；12.BCD；12.解析：由条件知，沿翻折一周得到的几何体是圆锥，若，则在平面上的射影，根据已知的长度不可能，排除（A）；翻折过程中点M为半圆上的一点，圆心为的中点N，则必存在，使得，即，（B）正确；此时与圆相切于点M，即与平面所成的角也达到最大，因为圆半径为，切线长为所以正切值为，（C）正确；选项（D）中，首先设正的中心为G，过点G的直线平面，沿翻折过程中，过中点且垂直的平面必过点M且与直线l相交，交点即为三棱锥外接球的球心O，此时，要使切线长最小，即最小，则O与G重合，易知，所以，（D）正确.三、填空题（20分）13.；14.-40；15.；16.；\n16.解析：记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，则，所以，，即，则，当且仅当时取等号，此时.四、解答题（70分）17.解析.（Ⅰ）设公差为，因为，，所以，，………………2分得，，所以.……………5分（Ⅱ）因为，所以，得，……………8分所以.……………10分18.解析：（Ⅰ）取到两个红球的概率：，………………2分\n取到两个白球的概率：，………………4分合计.………………5分（Ⅱ）随机变量X的取值为：，1，2，3；………………6分，，，，X0123P………………8分所以均值，………………10分方差，或.………………12分（注：分布列表中的概率值有2个以上正确给2分，共2分）19.解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，………………2分∴，………………4分∵，∴.………………6分（Ⅱ）因为，………………8分∴，，代入已知得，，即，………………10分又∵，\n∴，∴.………………12分20.解析：（Ⅰ）延长，过点P作，垂足为F，连接，，由平面平面，得平面，得，∵，，，∴，，即是正三角形，又∵是直角梯形，∴，即也是正三角形，故为菱形，得F，E，B三点共线，且，∴平面，从而.………………6分（Ⅱ）（一）几何法：过A作，连接，∵，∴平面，即，得就是平面与平面所成二面角的平面角，………………9分在中，，，得，，所以平面与平面夹角的余弦值是.………………12分（二）坐标法：由（Ⅰ）知，以点F为坐标原点建立空间直角坐标系（如图），∴，，，，，，，设平面的法向量为，\n则，即，取，又∵平面，所以平面的法向量为，………………10分设平面与平面所成二面角的平面角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值是.………………12分21.解析：（Ⅰ）将点代入得，，又，，得，所以，，即.………………4分（Ⅱ）因为，设直线的方程为，联立，得，且，设，，则，，则，且，………………7分\n直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，∴，………………9分∴面积，………………10分，当且仅当时，取到等号，此时，所以，直线的方程为.………………12分22.解析：（Ⅰ）求导，，………………1分（1）当时，恒成立，的单调递增区间是，无递减区间.………………2分（2）当时，由，得，由，得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.………………4分（Ⅱ）（i）（一）参变分离：令，得，设，求导，则x+0-极大值\n且当时，，当时，，如图，………………6分所以，即.………………7分（二）由条件及（Ⅰ）知，首先，列表得x+0-极大值∴的极大值为，即.又∵，（利用，即），∴，，使得，即有两个不同的零点，（），此时.………………7分（注：如果用极限说明也可以，没有取点说明不扣分）（ii）因为，即，且，不妨设，将代入中，\n得，即.………………9分或者，由，两式相减，，又，得，结合式得.………………9分设，则，令，则，∴在上单调递减，即，从而有，得在上单调递减，由已知条件得，即，∴在上单调递减，即，得，，即.………………10分又因为，设，由（i）（一）的方法知，在上单调递增，而，所以在上也单调递增，得，得，即.综上，a的最大值是.………………12分（注：如果求出，同样可求得）
