慈溪市2021学年第二学期高一期末测试高中数学学科试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数的虚部为（）A.1B.C.D.【答案】B2.已知向量，若，则（）A.1B.C.4D.【答案】A3.若把数据，改变为，则它们的（）A.平均数与方差均不改变B.平均数改变，方差保持不变C.平均数不变，方差改变D.平均数与方差均改变【答案】B4.已知两条不重合的直线，平面，（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B5.若经研究得出某地10名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为，则这10个数据的第80百分位数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】C6.若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为（）\nA.B.C.D.【答案】D7.在中，设，若，则的最大值为（）A.1B.C.D.2【答案】D8.在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（）A.与是互斥事件B.与既是互斥事件也是对立事件C.与不是互斥事件D.与是互斥事件【答案】BC10.若复数满足：为的共轭复数，则（）A.B.\nC.在复平面对应的点位于第二象限D.是纯虚数【答案】ABD11.如图，在长方体中，，在线段上运动，则（）A平面平面B.存点，使得C.的最大值为D.的最小值为【答案】AD12.已知关于向量的方程：，其中向量，则（）A.关于向量的方程的解为（因为）B.向量与的夹角是锐角C.满足该方程的向量有无穷个D.【答案】CD三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量、满足，，则___________.【答案】14.给出下列关于“用样本估计总体”中的四个结论：\n①中位数对极端值不敏感；②若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生变化；③标准差的大小不会超过极差；④方差越小，说明这组数据越集中.其中，正确的结论是___________.（用序号表示，把你认为正确的结论的序号都填上）【答案】①③④15.宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光绪二十五年（1899年）增建钟楼，整座建筑由教堂､钟楼､偏屋组成，造型具有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体所组成的几何体，若正四棱锥的侧棱长､底面边长与正方体的棱长均为，则顶端部分的体积为_____________【答案】##16.设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为___________.【答案】四､解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.）17.已知向量满足，，且.（1）求；（2）设向量，记，求的值.【答案】（1）（2）18.某校数学期末考试中有8道单项选择题，满分40分，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，评分标准规定：答对得5分，不答或者答错得0分.某考生每道选择题都选出\n了一个答案，能确定其中有4道题的答案是正确的，而其余4题中，有一道题可以排除两个错误选项，有两道题都能排除一个错误选项，还有一道题因题意理解不清，只能随机猜测.（1）求该考生得满分40分的概率；（2）问该考生得多少分的概率最大？【答案】（1）；（2）该考生得25分的概率最大.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且为的中点，在上且底面.（1）求证：侧面；（2）当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）【小问1详解】因为是等腰三角形且，M为PD的中点，所以，因为侧面，且底面，所以侧面底面，因为，所以侧面，因为侧面，所以，因为DC，侧面，且，所以侧面.【小问2详解】\n连接AC，过O作，交于点N，因为是正方形，所以，所以，又因为底面，底面，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以，所以，不妨设等边三角形的边长为2，则，，所以在直角三角形中，.20.核酸检测的物质是病毒的核酸.核酸检测是查找患者的呼吸道标本中是否存在外来入侵的病毒的核酸，来确定是否被新冠病毒感染.新冠病毒感染人体之后，首先会在呼吸道系统中进行繁殖，因此可以通过检测痰液，鼻咽拭子中的病毒核酸，来判断人体是否感染病毒.所以说，核酸检测阳性可以作为新型冠状病毒感染确诊的标准.为了解某核酸检测点检测人群的排队等待时间，随机调查了该检测点某天检测的100人，制成如下频率分布直方图.\n（1）求样本中等待时间大于15分钟的人数及的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名检测者等待时间的（i）中位数（结果用分数表示）；（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）【答案】（1）人，（2）（i）；（ii）21.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）22.如图，在多面体中，，，平面平面是棱上一点.\n（1）求证：；（2）若，求证：平面；（3）若平面，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【小问1详解】连接AC，交BD于点O，连接OP，在中，，所以，又，可知是等腰直角三角形，且，所以，即，又，所以；【小问2详解】由（1）显然知与相似，所以，又，所以，又因为平面PBD，平面PBD，所以平面PBD；【小问3详解】\n取CD中点M，连接AM交BD于点N，连接PN，则，且，所以四边形是平行四边形，则，N为BD中点，.因为SA⊥平面PBD，所以直线PN是直线AM在平面PBD内的射影，所以是直线与平面所成的角，即为直线BC与平面PBD所成角的平面角.过点A作，垂足为E，连接SE，PE，在等腰直角中，，所以，因为平面平面ABCD，交线为BD，平面，所以平面SBD，又平面，所以，所以，在直角中，由平面，平面，则，，可求得，所以.所以直线BC与平面PBD所成角的正弦值
