成都市2020级高中毕业班摸底测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x，y满足约束条件则的最大值为（）A．B．2C．4D．64．设，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．5．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（）A．0.0046，72B．0.0046，70C．0.0042，72D．0.0042，706．已知函数若，且，则（）\nA．B．0C．1D．27．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．9．赵爽是我国古代著名数学之家，他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形构成，如图所示．已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，若在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形区域内的概率为（）A．B．C．D．10．若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，，17，的平均数和方差分别为（）A．13，4B．14，4C．13，8D．14，811．如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论：\n①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；②直线平面；③在棱BC上存在一点E，使得平面平面MNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．312．若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则的值为（）A．B．C．eD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知向量，，其中m，．若，则的值为______．14．记函数的导函数是．若，则的值为 ______．15．设直线（t为参数）与抛物线相交于A，B两点，点．则的值为______．16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值；\n（Ⅱ）求函数的单调区间．18．（本小题满分12分）某建设行政主管部门对辖区内A，B，C三类工程共120个项目进行验收评估，规定评估分数在85分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到85分的项目被确定为“有待整改”项目．现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：A类：88，90，86，87，79；B类：85，82，91，74，92；C类：84，90．（Ⅰ）试估算A，B，C这三类工程中每类工程项目的个数；（Ⅱ）在选取的样本中，从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，，D为PC上一点，且，．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）若E为AC的中点，求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设函数，，其中\n．若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，，M是半圆弧上的一个动点．（Ⅰ）当时，求点M的极坐标；（Ⅱ）以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段的中点，求点N的轨迹方程．\n成都市2022级高中毕业班摸底测试数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．A；2．B；3．D；4．B；5．A；6．C；7．C；8．B；9．B；10．C；11．D；12．C．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．4；14．3；15．16．．三、解答题：（共70分）17．解：（Ⅰ）．∵函数的图象在处的切线与x轴平行，∴，解得．此时，满足题意．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．令，解得或．当x变化时，，的变化情况如下表：0200单调递减单调递增单调递减∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．\n18．解：（Ⅰ）根据分层抽样的定义，有A类工程有；B类工程有；C类工程有．∴A，B，C三类工程项目的个数可能是50，50，20．（Ⅱ）易知在B类工程抽样的这5个项目中，被确定为“验收合格”的项目有3个，所得评估分数分别为85，91，92；被确定为“有待整改”的项目有2个，所得评估分数分别为82，74．记选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目为事件M．在B类工程的5个项目中随机抽取2个项目的评估分数数据组合有，，，，，，，，，，共计10种结果．抽取的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的评估分数数据组合有，，，，，，共计6种结果．故所求概率为．19．解：（Ⅰ）∵平面ABC，AB，平面ABC，∴，．又，∴以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，设．则，．由，得，则．∵，即，∴，即．又，解得．∴AC的长为．（Ⅱ）∵E为AC的中点，由（Ⅰ）知，．则，．设平面DBE的一个法向量为．\n由得令，得∴．设平面ABE的一个法向量为．设二面角的平面角为．∵，易知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．20．解：（Ⅰ）由，得（c为半焦距），∵点在椭圆E上，则．又，解得，，．∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．设直线，，．由消去x，得．显然．则，．∴．\n由，，得直线AP的斜率，直线的斜率为．又，，，∴．∴．∵．∴．21．解：（Ⅰ）．令，则．∵，，∴恒成立，即在R上为增函数．又，∴当时，有；当时，有．∴函数在区间上为减函数，在上为增函数．∴．∴．（Ⅱ）．由（Ⅰ）知在R上为增函数．∴当时，有，即；当时，有，即．（i）当时，∵在R上恒成立，∴当时，；当时，．∴函数在上为减函数，在上为增函数．\n∴，即；（ii）当时，由，解得，，且在R上单调递减．①当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴．不符合题意；②当时，．∴时，有恒成立，故在R上为减函数．∴函数不存在极小值点，不符合题意；③当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴．不符合题意．综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．22．解：（Ⅰ）由，，得点M的极角为．在等腰中，由正弦定理得，即．∴．∴点M的极坐标为．（Ⅱ）由题意，在直角坐标系中，点M在以为圆心，1为半径的半圆弧上，\n其参数方程为（为参数，且）．设线段的中点N的坐标为．已知点，，由中点坐标公式可得∴点N的轨迹方程为（为参数，且）．
