2021-2022学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，( )A.B.C.D.2.某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区名男性居民和名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为的样本，则应从男性居民中抽取的人数为( )A.B.C.D.3.欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”若复数，则( )A.B.C.D.4.已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，下列命题正确的是( )A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则5.已知向量，满足，且，则( )A.B.C.D.6.一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏东方向，如图所示随后该船以海里小时的速度，向东南方向航行小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，此时船与灯塔间的距离为( )\nA.海里B.海里C.海里D.海里1.已知，，，则( )A.B.C.D.2.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则在上的值域为( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则( )A.B.当时，单调递减\nC.当时，D.，1.近年，随着人工智能，，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加国际数据公司统计了年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是( )A.年，全球每年产生的数据量在持续增加B.年，全球数据量的年平均增长率持续下降C.年，全球每年产生的数据量的平均数为D.年，全球产生的数据量超过2.坛子是我们日常生活中耳熟能详的生活用品，一般指用陶土做胚子烧成的用来腌制菜品或盛放物品的器物如图，某坛子的主体部分坛身可以看作是由上下两个同底的圆台烧制而成的，其中，，且该坛子的容积为升，则( )注：若圆台的上、下底面半径分别为，，高为，母线为，则圆台的体积，侧面积．\nA.下圆台的体积为升B.下圆台的表面积含上下圆台同底的部分为C.直线与圆台底面所在平面所成的角为D.若在该坛子内封装一个圆柱，则圆柱的侧面积最大为不考虑能否放入和容器厚度1.的内角，，的对边分别为，，，且，，，则( )A.B.C.的面积为D.的周长为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.已知复数，则的虚部为 ．3.在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示已知为坐标原点，，，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ．\n1.在中，，，，，，则的最大值为 ．2.已知函数恰有个零点，则 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）3.计算：．4.已知向量，．若，求的值若与的夹角为钝角，求的取值范围．5.在条件，，为的面积中任选一个，补充在下面的横线上，然后解答补充完整的题目．已知的内角，，所对的边分别是，，，且 ．求角若外接圆的周长为，求周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分\n1.某社区名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩满分分进行统计，将数据按，，，分为组，其频率分布直方图如图所示．求直方图中的值试估计这名居民竞赛成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值作代表该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的的居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民的分数不超过多少2.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，为的中点．证明：平面．若二面角的正切值为，求二面角的正弦值．\n1.已知函数，，．当，时，求的单调递增区间当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值．2021-2022学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试数学试题答案和解析1.【答案】 【解析】【分析】本题考查集合的并集运算，涉及对数函数的定义域，属于基础题．【解答】\n解：因为，，所以 2.【答案】 【解析】【分析】本题考查分层随机抽样，属于基础题．【解答】解：应从男性居民中抽取的人数为． 3.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．【解答】解：由，得，，，所以． 4.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，属于基础题．【解答】解：对于，直线可能在内或平行于或与相交，A错误．\n对于，直线可能在内或平行于或与相交，B错误．对于，与不一定平行，C错误．易得D正确． 5.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量求模长，属于基础题．【解答】解：因为，所以．因为，所以． 6.【答案】 【解析】【分析】本题考查正弦定理的实际应用，属于基础题．【解答】解：由题意可知，，，海里，由正弦定理可得，解得海里． 7.【答案】 【解析】【分析】\n本题考查对数的大小比较，考查对数函数单调性的应用和对数的运算性质，考查学生的化简运算和推理能力，属于中档题．【解答】解：因为在上单调递增，所以，又因为，所以． 8.【答案】 【解析】【分析】本题考查三角函数图像性质的综合应用，属于难题．【解答】解：由图可得，，，则因为，所以．由，可得，，即，因为，所以，故，．因为，所以，故． 9.【答案】 【解析】【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用．【解答】解：，A正确当时，单调递减，，B正确，C错误当时，，，，D正确． \n10.【答案】 【解析】【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图，熟练读懂统计图是解题思的关键．【解答】解：由图可得年，全球每年产生的数据量在持续增加，A正确．年，全球数据的年平均增长率由增长到了，B错误．年，全球每年产生的数据量的平均数为，C正确．设年全球产生的数据量为，则，解得，D正确． 11.【答案】 【解析】【分析】本题考查组合体的结构特征，属于基础题．【解答】解：因为该坛子的容积，所以，故下圆台的体积为，即升，A正确．，故下圆台的表面积为，B错误．由图易知，直线与圆台底面所在平面所成角为，则，C\n错误．设该圆柱的底面半径为，则圆柱高，所以圆柱侧面积，D正确． 12.【答案】 【解析】【分析】本题考查正余弦定理的综合应用，三角形周长计算，面积公式的应用，考查数学运算能力，属于中档题．【解答】解：因为，，所以．由正弦定理知，化简得，所以A.因为，所以，所以又因为，所以．由，可得，所以，所以．由正弦定理可得，即故的面积为．由余弦定理知，所以，，故的周长为．\n 13.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的乘法运算，复数的虚部的概念，属于基础题．【解答】解：因为，所以的虚部为． 14.【答案】 【解析】【分析】本题考查斜二测画法，属于基础题．【解答】解：如图，画出直观图，过点作，垂足为因为，，所以，，，则，故四边形的周长为． 15.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算．【解答】解：\n 16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力．【解答】解：当时，令，解得故在上恰有个零点，即方程有个负根当时，显然不满足题意当时，因为方程有个负根，所以当，即时，其中当时，，解得，符合题意当时，，解得，不符合题意当时，设方程有个根，，因为，所以，同号，即方程有个负根或个正根，不符合题意．综上，． 17.【答案】解：原式．原式． 【解析】本题考查指对数的化简求值，属于基础题．18.【答案】解：，．\n因为，所以，即，解得．因为与的夹角为钝角，所以，即，解得．当与共线时，，解得，此时和反向，不满足题意．故的取值范围为 【解析】本题考查向量垂直的坐标表示，向量数量积的坐标表示，考查向量的基本运算，属于基础题．19.【答案】解：选择，因为，由正弦定理得C.因为，所以．因为，所以．选择，因为，，且，所以，则．因为，所以．因为外接圆的周长为，所以外接圆的直径为．由正弦定理得，则．由余弦定理得．因为，所以，即，当且仅当\n时，等号成立．又因为，所以，则．故周长的取值范围为． 【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式和三角恒等变换、基本不等式的应用，考查学生的分析以及计算能力，属于中档题．20.【答案】解：依题意得，，解得．这名居民竞赛成绩的平均分．由频率分布直方图可得，第一组的频率为，前两组的频率之和为．设需要参加讲座的居民的分数不超过，则．，解得．故需要参加讲座的居民的分数不超过． 【解析】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．21.【答案】证明：如图，取棱的中点，连接，．因为，分别为棱，的中点，所以且．\n因为，，且，所以且．所以且，则四边形为平行四边形，．因为平面且平面，所以平面．解：不妨设，连接，则，，．由勾股定理可得．因为平面，所以．因为，所以平面．因为平面，所以．又，所以为二面角的平面角．因为，所以．分别设，的中点为，，连接，，．因为平面，所以．又因为，所以平面．因为，所以平面，．因为，且为的中点，所以．故就是二面角的平面角．在中，，，．由余弦定理可得，所以．故二面角的正弦值为． 【解析】\n本题考查线面平行的判定，几何法求二面角，考查几何体中常见辅助线的作法与技巧，考查直观想象能力和逻辑推理能力，属于较难题．22.【答案】解：．令，，解得，故的单调递增区间为．当时，在上单调递增，在上单调递减，，，，故当时，有个不同的实数根．由，可得或．因为有个不同的实数根，所以有个不同的实数根，且．故的取值范围为由题意可得，\n因为为的零点，直线为图象的对称轴，所以，，，得，，所以．因为，，所以，即为正奇数．因为在上单调，则，即，解得．当时，，因为，所以，此时当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，即在上不单调，不满足题意．当时，，因为，所以，此时当时，，此时在上单调递减，符合题意．故的最大值为． 【解析】\n本题考查正弦函数的单调性问题，三角函数的零点问题，三角函数对称性的应用，以及与三角恒等变换的综合应用，属于拔高题．
