运城市2021-2022学年第二学期期末调研测试高二数学试题2022.7一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域求出集合，再求交集即可.【详解】因为，所以，故选：A.2.已知函数，则的值域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出的范围，然后可得答案.【详解】因为，所以，所以，故选：D3.已知函数为上的偶函数，则实数（）A.B.或C.或D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合偶函数定义，代入即可求得结果.\n【详解】解：因为函数为上的偶函数，所以，即，所以，即，所以或.故选：B.4.某社区服务站将5名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1人，则不同的分配方案有（）A.60种B.90种C.150种D.300种【答案】C【解析】【分析】先分类，分到3个社区的志愿者人数分别为3,1,1或2,2,1，再求出两种情况下的不同分配方案.【详解】若3个社区的志愿者人数分别为3，1，1，此时不同的分配方案有种，若3个社区的志愿者人数分别为2，2，1，此时不同的分配方案有种，∴不同的分配方案共有种故选：C.5.“”是“函数有且只有两个零点”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件\n【答案】A【解析】【分析】求出函数有且只有两个零点的充要条件即可判断.【详解】解：因为当时，有一零点，要使函数有两个零点，所以当时必有一个零点，即有一个非正解.即在上有解，所以，又因为，所以“”是“函数有且只有两个零点”必要不充分条件.故选：A.6.已知函数，，则如下部分图像对应的函数可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】\n【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于A选项，令，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，与题图不符；对于B选项，令，对任意，，即函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，与题图不符；对于C选项，，函数的定义域为，，函数为偶函数，与题图相符，当时，，，则，与题图相符；对于D选项，，由，可得，故函数的定义域为，与题图不符.故选：C.7.已知函数，则关于的不等式的解集为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，分析可知函数为偶函数，且在上为减函数，由已知可得出，可得出，结合对数函数的单调性解\n此不等式即可得解.【详解】构造函数，，则函数为偶函数，且该函数在上为减函数，由可得，即，所以，，可得，即，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.8.已知，且，则下列一定正确的为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可判断A；举出反例即可判断BCD.【详解】解：对于A，，当且仅当时，取等号，所以，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D错误.故选：A.9.已如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.\n若，则正实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数、的解析式，再借助函数性质及图象变换，列出不等式，求解作答.【详解】由图象知，，，显然函数是奇函数，则，因此，函数的图象与的图象没有公共点，而的图象是的图象向右平移2个单位而得，于是得，当且仅当，解得，而，即有，所以正实数的取值范围为.故选：D10.已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（）A.B.\nC.D.【答案】C【解析】【分析】由可知函数是上的减函数，结合自变量的大小比较函数值即实数a,b,c的大小即可.【详解】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，任取故，化简得：，∴函数是上的减函数，因为，，所以，同理，所以，又因为，所以，所以，故选：C.11.若函数图象关于对称，则的最大值为（）A.16B.15C.9D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据对称性求得，利用导数求得的最大值.【详解】关于直线对称，\n，，解得，所以，，令解得或或，所以在区间递增；在区间递减，结合的对称性可知：当或时，取得极大值也即是最大值，.故选：A12.已知函数的定义域为R，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数的取值集合为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题干条件，可得为奇函数，且周期为4，根据时的解析式，可求得在上的值域，结合函数的性质，可得在R上的值域为，分析可得只需在上有解即可，根据的解析式，分析计算，即可得答案.【详解】因为函数的图象关于点对称，\n所以图象关于点（0,0）对称，即为定义在R上的奇函数，，因为，所以，即的周期为4，又当时，，所以，即，因为时，，所以当时，，因为为奇函数，所以当时，所以对于任意的，，因为对任意，存在，使得成立，所以只需在上有解即可，即在上有解，整理得在上有解即可，当t=2时，可得所以，所以满足条件的实数的取值集合为.故选：B【点睛】解题的关键是需熟练掌握函数的周期性、奇偶性等性质，并灵活应用，难点在于需求出的值域，进而分析可得只需在上有解即可，根据存在性问题解题方法，即可得答案，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中，各项系数的和为___________.【答案】0【解析】\n【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】由，令得各项系数的和为.故答案为：14.已知函数，则___________.【答案】3【解析】【分析】根据时，，可得当时，函数是以2为周期的一个周期函数，再根据函数的周期性即可得解.【详解】解：当时，，所以当时，函数是以2为周期的一个周期函数，则.故答案为：3.15.已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列四个结论：①②点是函数图象的一个对称中心；③函数在上有2023个零点；④函数在上为减函数；则所有正确结论的序号为___________.【答案】①②③【解析】【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性对个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意是定义在上的奇函数，由于当，且时，都有，\n即所以在区间上递增，由，以替换得，由，令得，所以，所以，所以是周期为的周期函数.所以，，以此类推可知，，，以此类推可知，所以，①正确.由上述分析可知，所以，所以关于对称，结合是周期为的周期函数可知关于点对称，②正确.对于③，由，以替换得，所以关于直线对称，是奇函数，，在上递增在上递增；则在上递减.结合是周期为的周期函数，以及，可知函数在上有2023个零点，③正确.对于④，结合上述分析可知，在上递增，在上递减.\n由于是周期为的周期函数，所以在，即上递增，所以④错误.故答案为：①②③16.已知函数，对，总存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围___________.【答案】【解析】【分析】求得在区间上的最大值的最小值，从而求得的取值范围.【详解】设的最大值为，令，，当时，，，所以当时，单调递增，，当时，，当时，，所以当时，时，取得最小值，.当时，在上递增，在上递减，当时，，当时，，\n当时，，当时，，依题意，总存在实数，使得不等式成立，所以.故答案为：三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数，（1）当时，求不等式的解集.（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；（2）由可得，然后分、、三种情况讨论求解即可.【小问1详解】当时，，解得为，所以解集为小问2详解】由可得，①当，即时，不等式解集为；\n②当，即时，不等式可化为，此时解集为；③当，即时，不等式解集为综上所述，当时，解集；当时，解集为；当时，解集为.18.在甲､乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，3，…，6），以X表示排在甲､乙两单位演出之间的其他演出单位个数，以Y表示甲，乙都演出结束时，其他已演出单位的个数.（1）求；（2）求随机变量Y的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，【解析】【分析】（1）只考虑甲､乙两单位演出的相对位置，则可用组合数来计算基本事件，结合古典概型即可得解；（2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可.【小问1详解】解：只考虑甲､乙两单位演出的相对位置，则；【小问2详解】解：Y的可能取值为0，1，2，3，4，\n，，，，，故Y的分布列为Y01234P.19.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；（2）先确定出X的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望．\n【小问1详解】由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则．【小问2详解】由题意可知，3，4，5，则，，，，故X的分布列为X2345P．20.电影院统计了某电影上映高峰后连续10场的观众人数，其中每场观众人数y（单位：百人）与场次x的统计数据如表：123456789102通过散点图可以发现与之间具有相关性，且满足经验关系式：，设.（1）利用与的相关性及表格中的前8组数据求出与之间的回归方程（结果保留两位小数）；\n（2）如果每场观众人数超过1.2（百人），称为“满场”.从表格中的10组数据中随机选出8组，设表示“满场”的数据组数，求的分布列及数学期望.附：.前8组数据的相关量及公式：，对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质，结合题中数据以及题目所给的公式进行求解即可；（2）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】对两边求对数得：设，又，则，，，∴，∴，\n∴y与x之间的回归方程为，即；【小问2详解】ξ的可能取值2，3，4，，，，ξ234P.21.已知函数，.（1）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围；（2）设，若对于任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由结合参变量分离法可得出，则直线与函数在区间内的图象有公共点，数形结合可得出实数的取值范围；（2）由已知可得，求得，则，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，注意到，结合函数的单调性可求得的取值范围.\n【小问1详解】解：，其中，由可得，则，则直线与函数在区间内的图象有公共点，且，故函数在上单调递增，如下图所示：【小问2详解】解：因为且，所以且，因为，故当时，，因为，所以，只需，即，\n设，其中，，所以，在上单调递增，又，因为，即，所以，所以的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.22.已知函数，.（1）若，对，使得成立，求实数的取值范围；（2）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，利用基本不等式求得，可得出，令，分离参数可得，利用函数的单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；（2）令，分析可知关于的方程有且只有一个正根，分、\n、三种情况讨论，在时，直接求出方程的根，验证即可；在、这两种情况下，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：，即，若，使得成立，只需要成立因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，，则，因为，令，分离参数可得，令，其中，任取、且，则，当时，，，则，当时，，，则，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，\n故，.【小问2详解】解：由（1）可得，由题意知，方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，即方程有且只有一个正根，构造函数.①当时，，令，解得，不合乎题意；②当时，则，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，，由于，要使得方程有且只有一个正根，则，解得；③当时，则，，设方程的两根分别为、，由韦达定理可得，，则方程有且只有一个正根.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：\n（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.
