湖南省高二年级期末考试试卷数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.（）A.B.C.D.3.某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（）A.45B.50C.55D.604.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（）A.B.C.D.5.已知向量满足，且，则（）A.6B.8C.36D.646.已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且，则的面积为（）A.8B.6C.4D.27.已知是直线上任意一点，过点作两条直线与圆相切，切点分别为，则的最小值为（）A.B.C.D.\n8.方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则.中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发.沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（）A.48种B.60种C.72种D.90种二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数的最小值为8的是（）A.B.C.D.10.已知，函数的最小正周期为，则（）A.在上单调递增B.直线是图象的一条对称轴C.点是图象的一个对称中心D.在上的最大值为011.古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第二行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则（）\nA.B.C.D.12.在正方体中，动点满足，其中，，且，则（）A.对于任意的，且，都有平面平面B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，不存在点，使得D.当时，存在点，使得三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数是奇函数，则实数__________.14.已知“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是_____________.15.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为__________，体积为__________.（本题第一空3分，第二空2分）16.已知分别是椭圆和左、右焦点，是椭圆上一点，且.若以点为圆心，为半径的圆与直线相切，则椭圆\n的离心率为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在条件①，②，其中为的面积中任选一个，补充在下面的横线上，然后解答补充完整的题目.已知的内角所对的边分别是，且__________.（1）求角；（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18.（12分）正项数列的前项和为，已知.（1）若是等差数列，求的通项公式；（2）是否存在实数，使得是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.（12分）函数的图象在点处的切线恰好经过点.（1）求；（2）已知函数在其定义域内单调递增，求的取值范围.20.（12分）如图，在梯形中，已知，为的中点，将沿着翻折至，连接.（1）证明：；（2）若二面角的大小为60°，求与平面所成角的正弦值.\n21.（12分）某单位了为激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜3分，第二局获胜得2分，失败均得1分.小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛互不影响.（1）若，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为，求的分布列和数学期望；（2）设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试问当为何值时，取得最大值？22.（12分）已知双曲线的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.（1）求的方程；（2）若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.\n参考答案1.A因为，所以.2.C.3.C应从男性居民中抽取的人数为.4.B因为，所以.5.B因为，所以.因为，所以.6.C由题可知，解得，所以的面积为.7.A圆是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当最小时，的值最小.，当取得最小值时，最大，最小.点到直线的距离，故当时，最大，且最大值为，\n此时，则.8．D由题意可知，从到最少需要6步完成，其中有2步是横向的，2步是纵向的，2步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.9.CD对于A，当时，显然不满足题意；对于B，因为，，当且仅当时，等号成立，因为等号取不到，所以其最小值不为8，B不符合题意；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以其最小值为8，C符合题意；对于D，，当时，取得最小值，D符合题意.10.ACD，由的最小正周期为，得，所以.令，，得，，A正确.令，，则，，B不正确.令，，得，，可知是图象的一个对称中心，C正确.当时，，的最大值为0，D正确.11.ABD由题意可知，，B正确；，所以\n，A正确；，D正确；，C不正确.12.ABC因为，，，所以平面.易证平面，因为平面，所以平面平面，即平面平面，A正确.当时，点在线段上运动，因为平面，所以点到平面的距离不变，，故三棱锥的体积为定值，B正确.如图（1）所示，当时，分别在线段上取点，且.过点作的平行线且交于点，则点在线段上运动，易证.又，，所以直线与直线之间的距离为，则以为直径的圆与线段没有交点，所以不存在点，使得，C正确.如图（2）所示，分别取线段，，的中点，当时，点在直线上运动.易证四点共面，因为，所以为球心，为半径的球经过点.又，所以，即点在球面上或球面外，此时，D不正确.\n13.-1因为是奇函数，所以，所以14.不等式等价于，即，解得.因为“”是“”的必要不充分条件，所以，即的取值范用为.15.；设圆锥的底面半径为，则，解得，该圆锥的高，体积为16.如图，过点作直线，垂足为，连接，由知，，所以，则，所以.在中，由余弦定理知，.因为，所以，则.所以.17.解：（1）选择①因为，由正弦定理得因为，所以因为.所以选择②\n因为，且所以.则因为，所以.（2）因为外接圆的周长为，所以外接圆的直径为.由正弦定理得，则由余弦定理得.因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，又因为，所以，则.故周长的取值范围为18.解：（1）当时，，又，所以当时，，即因为是等差数列，设的公差为，所以，解得，则，故的通项公式为.（2）假设存在实数，使得是等比数列.由（1）可知，，因为是等比数列，所以，即，解得，此时，不符合题意，则假设错误.故不存在实数，使得是等比数列.19.解：（1）由题可知，则，又，所以函数的图象在点处的切线方程为.\n即.因为点在切线上，所以，解得.（2）由已知可得在上恒成立，所以，即，所以的取值范围为.20.（1）证明：连接，交于点，连接，因为，为的中点，所以，又四边形为梯形，则四边形为菱形，所以.又，是的中点，所以，因为平面，平面，，所以平面.又平面，所以.（2）解：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为二面角的大小为60°，所以，易得，则.平面的一个法向量，设与平面所成的角为，则.21.解：（1）由题可知，的可能取值为2，3，4，5，因为，所以，，.故的分布列为\n2345.（2）设一天得分不低于4分为事件，则，则，，则当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值.22.解：（1）根据对称性，不妨设到直线的距离为，则.当轴时，，则.故的方程为（2）设，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立方程组，化简得，由，得，则，设，因为三点共线，所以，整理得\n因为，所以，即直线的斜率为定值0，当直线的斜率为0时，都在轴上，则直线的斜率为定值0，综上所述，直线的斜率为定值0.
