柳州市2023届新高三摸底考试理科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）AB.C.D.2.设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（）A.B.C.D.3.已知向量，夹角为，且，，则（）A－1B.C.－2D.14.执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )\nA.2B.C.D.5.若，则（）A.B.C.D.6.若，则（）A.－B.C.D.7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2B.－3C.－2D.08.已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（）A.B.C.D.9.今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.\n若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）A.44种B.48种C.60种D.50种10.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）A.9B.7C.11D.311.已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A.B.C.D.\n第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．14.展开式中的系数为___（用数字作答）．15.已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．16.在正方体中，点E为线段上动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积．18.已知数列{}满足，．（1）证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；（2）求数列的前n项和．19.年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计\n男女合计（2）先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出名学生，再从这人中随机抽取人，记抽取的人中有名男生，求的分布列和期望．20.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．21.已知函数．（1）讨论当时，f(x)单调性．\n（2）证明：．22.已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．1B2【答案】D3【答案】A4【答案】C5【答案】A6【答案】B7【答案】C8【答案】B9【答案】A10【答案】C11【答案】B12【答案】B13【答案】214【答案】15【答案】916【答案】①③17【答案】（1）（2）【小问1详解】由已知及正弦定理知：．\n因为C为锐角，则，所以．因为A为锐角，则【小问2详解】由余弦定理，．则，即即，因为，则所以△ABC的面积．18【答案】（1）证明见解析；（2）【小问1详解】由题意可得：∵所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即因此{}的通项公式为【小问2详解】由（1）知，令则所以．\n．综上．19【答案】（1）填表见解析，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”（2）分布列见解析，期望为【小问1详解】解：（1）由题意可知，样本中女生人数为，样本中，对冰球运动有兴趣的女生人数为，根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没兴趣合计男女合计根据列联表中的数据，得到，，所以，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”【小问2详解】解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的人中，有个男生对冰球感兴趣，有个女生对冰球感兴趣，则的可能取值为、、，，，，所以的分布列如下表所示：\n所以，的期望为．20【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】证明：连接OB．法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴又∵，∴∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．法二：连接，，O为AC的中点∴因为∴∴，∴∴，OB、AC平面ABC．∴PO⊥平面ABC．【小问2详解】\n由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角，∴，∴，在△OMC中由正弦定理可得，∴M为BC的中点．法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF∴MF⊥PA∴∠MFE即为所求二面角的平面角，∴∴法二：分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系\nM（，，0）．记为面AMP的法向量则．面APC的法向量．易知所成角为锐角记为21（1）解：由题意可知对于二次函数．当时，恒成立，f(x)在上单调递减；当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，当，f(x)在单调递增；\n当，f(x)在和单调递减综上：当时，f(x)在（0，＋∞）单调递减当时f(x)在单调递增；单调递减．（2）证明：要证，即证．（方法一）设，则，在（0，＋∞）上为增函数，因为，所以在（，1）上存在唯一的零点m，且，即．所以h(x)在（0，m）上单调递减，在上单调递增，所以，．因为，所以等号不成立，所，所以，从而原不等式得证（方法二）不妨设，则，当时，，当时，，因此恒成立，．则恒成立，．则恒成立，即．\n又，所以等号不成立，即，从而不等式得证22【小问1详解】Q（x，y），由题意，得，当时，，平方可得，当时，，平方可得，由可知，不合题意，舍去.综上可得，所以Q的轨迹方程C为．【小问2详解】不妨设，因为，所以，从而直线PA的斜率为，解得，即A（2，1），又F（0，1），所以轴．要使，只需．设直线m的方程为，代入并整理，得．首先，，解得或．其次，设，则，，故.此时直线m的斜率的取值范围为．
